官方 handout 完整題名是 Homework 9: Learning Paradigms，也是最後一份、純 written 作業。四個主要題組依序是 PCA、k-Means、Ensemble Methods 與 Recommender Systems。ZIP 提供 PDF、LaTeX template、題目圖與少量作圖資料檔；沒有 starter code、完整 dataset 或 reference answers。
四個主題的共同問題
Ensemble 問如何組合多個預測器；k-means 問沒有 label 時如何以距離組群；PCA 問如何保留主要變異；推薦系統問如何利用稀疏的使用者—項目訊號。方法不同，但都要求先說清楚 objective、representation 與失敗條件。
第一個檢查動作與結業驗收
沒有必要的程式命令；先開啟 ZIP 的 LaTeX template 與 figures/data，確認每張圖對應 PCA、k-means 或 recommender 題組後再計算。完成判準是能手跑 k-means assignment/update、計算二維 PCA 方向、解釋 ensemble 的 bias/variance 取捨與推薦資料的稀疏性，最後畫出全課方法選擇圖。官方未提供答案，不把自行推導寫成官方驗證。
手跑一次 k-means
以下是本文自編的教學例子，不是官方作業答案。
自編一維點是 0、2、8、10，初始兩個中心為 0、10。最近中心指派把 0、2 放第一群，8、10 放第二群；update 取群內平均，得到中心 1、9。再指派一次，兩群沒有改變。
檢查與答案： 此時平方距離總和是多少？答案 (0-1)²+(2-1)²+(8-9)²+(10-9)²=4。這是一個小例子的停止狀態，不證明任意初始化都找到全域最佳。
另外三個主題，也走一個小例子
以下都是本文自編的例子，不是官方解答。
PCA： 二維點是 (-2,0)、(0,0)、(2,0)，平均是 (0,0)。x 方向有變異，y 方向完全沒有，因此第一主成分沿 x 軸；投影到這一維保留全部變異。檢查：若三點改成 (0,-2)、(0,0)、(0,2)，主方向轉成 y 軸。這些點已中心化，不要把未中心化的資料直接套進相同判讀。
Ensemble： 三個二元分類器對同一筆資料預測 1、0、1，多數決得到 1。真實標籤若是 0，ensemble 仍然錯；若三個模型都犯同樣的錯，多數決不會救回來。檢查：改成 0、0、1 時，結果為 0。這只示範組合規則，不保證組合後一律改善。
推薦資料： 使用者 U 對項目 A 評 5 分，對 B 未評；V 對 A 評 4 分、B 評 5 分。U 的 B 格是「未觀察」，不能直接當成零分的負評。若你依 V 的偏好向 U 推薦 B，這是待驗證的推測，不是已知答案。檢查：U 尚未評 B，能否拿這個空格直接計算預測誤差？不能，須有獨立保留的真實評分或另定適當的評估任務。
這三個例子分別問保留什麼變異、如何組合預測，以及缺值代表什麼。先定問題與 objective，再選方法，不因它們都在同一份作業就混成一個成功指標。
更新紀錄
- 2026-10-11：補上自編例子、完整計算或推理，以及理解檢查答案。
參考資料
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