GLM 怎麼依資料型態選分布和 link function？

TL;DR GLM 怎麼依資料型態選分布和 link function？這篇會從考試題型、核心直覺、手算例子一路接到 ML/AI 的實際工作流。

English version

前面看過線性迴歸和 logistic regression。它們表面上很不一樣：一個處理連續數值，一個處理 0/1 分類；一個用平方誤差，一個用 likelihood / cross entropy。但放進 GLM，兩者其實是同一個家族裡的不同成員。

GLM，generalized linear model，處理的是一個很實際的問題：Y 的資料型態不同，模型就不該硬用同一套常態線性迴歸。二元、計數、比例、等待時間，各自需要合適的分布和 link function。

GLM 的三個部件

GLM 有三塊：random component、linear predictor、link function。

random component 決定 Y 的分布。連續且近似常態的資料可以用 Normal；0/1 結果可以用 Bernoulli；計數資料常用 Poisson。

linear predictor 是：

eta = X beta

這部分保留線性模型的好處：feature 的組合仍然是線性的。

link function 把條件平均數和線性預測器接起來：

g(E[Y | X]) = X beta

這條式子是 GLM 的核心。模型仍然用 X beta，但不要求 E[Y | X] 本身直接等於 X beta。

response type 決定模型選擇

如果 Y 是連續數值，且誤差大致可用常態處理，ordinary linear regression 是自然起點：

Y | X ~ Normal(mu, sigma^2)
mu = X beta

如果 Y 是 0/1，常用 Bernoulli 和 logit link：

Y | X ~ Bernoulli(p)
log(p / (1 - p)) = X beta

這就是 logistic regression。

如果 Y 是計數，常用 Poisson 和 log link：

Y | X ~ Poisson(lambda)
log(lambda) = X beta

這樣可以確保 lambda 是正的，因為：

lambda = exp(X beta)

GLM 的第一步是看 response type。Y 是什麼形狀，決定你需要哪種分布和哪種 link。

手算例題：Poisson GLM 的 rate ratio

假設你在分析客服系統每天收到的工單數。Y 是 count，所以用 Poisson GLM：

log(lambda) = beta0 + beta1 x

其中 x 表示是否開啟新入口，x = 1 是開啟，x = 0 是未開啟。假設估到：

beta1_hat = 0.4

這不是每天工單數直接增加 0.4 件。beta1 在 log rate 尺度上。

轉回原尺度：

exp(0.4) approximately 1.49

可以寫成：「在模型設定下，開啟新入口後的預期工單率約為未開啟時的 1.49 倍。」

這個解釋比「增加 0.4」正確，因為 log link 的係數要轉成 rate ratio。

link scale 和原尺度都要會講

GLM 的係數通常先活在 link scale。

Logistic regression 的係數在 log odds scale；轉成 exp(beta) 後是 odds ratio。

Poisson regression 的係數在 log rate scale；轉成 exp(beta) 後是 rate ratio。

Linear regression 使用 identity link，係數可以直接在原尺度上解釋。

考試常在這裡扣分。看到 GLM 係數時，先問：這個係數在哪個尺度？如果要給一般讀者或產品團隊看，是否需要轉回 odds ratio、rate ratio 或預測平均數？

分布和 loss function 的關係

GLM 也幫你理解 ML 裡的 loss function。

Normal likelihood 對應平方誤差。Bernoulli likelihood 對應 binary cross entropy。Poisson likelihood 對應 count data 的 negative log likelihood。

這代表 loss 不是隨便選的。你選的 loss 其實暗含了對資料生成方式的假設。若 Y 是計數，卻用普通 squared error，可能會預測出負數，也可能把高 count 的誤差處理得不合理。

題型怎麼辨識

看到 response 是 0/1，先想 Bernoulli、logit link、logistic regression。

看到 response 是 count，先想 Poisson、log link、rate ratio。

看到 response 是連續且可用常態誤差近似，先想 Normal、identity link、linear regression。

看到題目問係數解釋，先回答 link scale，再視情況轉回原尺度。

看到題目問模型選擇，先從 Y 的資料型態說起，再談假設和診斷。

這在 ML / AI 哪裡會用到

GLM 是 ML 專案裡很強的 structured baseline。它不一定贏過深度模型，但它常能先回答三件事：資料型態是否被正確建模、feature 方向是否合理、複雜模型是否真的有必要。

在產品資料裡，很多目標不是連續常態。點擊是 0/1，購買次數是 count，等待時間偏態很強，使用者留存是比例或生存問題。GLM 逼你先尊重 Y 的型態，再談模型能力。

在 AI 評估裡也一樣。若指標是 pass/fail，可以用 Bernoulli 語言；若是每位使用者的錯誤次數，可以用 count model；若是 rating score，可能先用線性模型或 ordinal model 當 baseline。這些選擇會影響不確定性估計和解釋句。

常見錯誤

看到 regression 就全部套 ordinary linear regression。
忘記 GLM 係數通常在 link scale 上。
把 Poisson 係數解釋成原尺度的直接加減。
把 logistic 係數解釋成機率差。
選模型時只看分數，沒有檢查 response type、分布假設和診斷。

練習題

把 Bernoulli、Poisson、Normal 分別配到常見的 response type，並寫出可能使用的 link function。
說明 GLM 的三個部件：random component、linear predictor、link function。
若 Poisson GLM 中 beta1 = 0.4，計算 exp(beta1)，並寫出 rate ratio 解釋。
如果資料是 count，為什麼直接用普通線性迴歸可能不合適？
在 ML 裡，GLM 為什麼常是深度模型前的強 baseline？請從資料型態與可解釋性回答。

下一篇怎麼接

GLM 教你依 response type 選分布和 link。下一篇會回到模型診斷：即使你選了看似合適的模型，也要用殘差、outlier、leverage 和 error analysis 檢查它在哪裡壞掉。

章節級參考對照

OpenIntro 與 OpenStax 支撐反應變數型態、logistic / Poisson 類模型與迴歸延伸。
Stanford CS109 支撐分布選擇與條件機率建模的直覺。
scikit-learn 支撐把不同資料型態轉成可評估模型的工作流；本文把 GLM 當成 structured baseline。