影片狀態：僅附相關補充影片；原講次錄影未確認。 影片來源與說明
這是 Stanford CS109 導讀的第 15 篇，對應 Summer 2026 Lecture 14: Beta，日期為 7 月 15 日，講者是 Chris Gregg。本文依 Summer worksheet、answer key、LLM Learning Guide與跨 offering 共用的 Spring-dated 官方讀本 Beta 章節整理。Canvas 錄影未公開，因此不重建課堂口述。
Worksheet 與 answer key 是完整兩頁、P1–P7 加 challenge。Guide 有六個 concepts；名義上的第三頁只延續 wrap-up 與結語，不是額外單元。本講的重要轉換是：成功率不再只是一個固定但未知的數，而是 support 在 [0,1] 上的 random variable。
P1：用 Multinomial 複習開場
公平六面骰擲五次，恰好兩次 3、兩次 5、一次 6。其他三個 faces 的 counts 為零，因此
P = 5!/(2!2!1!) × (1/6)^2(1/6)^2(1/6)
= 30/7776
≈ 0.00386零 counts 的 factors 是 0!=1 與 (1/6)^0=1，不需額外寫出。這題收束 Multinomial，下一題則把未知 category probability 本身視為 belief distribution。
P2：Robot Gripper 的 Beta posterior
Gripper 每次成功 probability 為 X。觀察前採 Uniform(0,1)=Beta(1,1)；八次中六次成功、兩次失敗。Beta–Bernoulli conjugacy 直接更新：
X|data ~ Beta(1+6,1+2) = Beta(7,3)對 Beta(a,b)，mean 是 a/(a+b)，而 a,b>1 時 mode 是 (a-1)/(a+b-2)：
E[X] = 7/10 = 0.7
mode = 6/8 = 0.75Frequentist estimate 也是 6/8=0.75；posterior mean 被 prior mean 0.5 拉回到 0.7。PDF 在 [0,1] 上有單峰、peak 在 0.75，左側 tail 較長，因此不對稱。相同 observed rate 若來自八次或八千次，point estimate 看不出 certainty 差異；Beta 的 concentration a+b 會反映差異。
P3：一般 Beta prior、conjugacy 與 Laplace smoothing
Delivery drone prior 是 Beta(4,2)，本週三次成功、五次失敗：
posterior = Beta(4+3,2+5) = Beta(7,7)這個 posterior 對稱，mean 為 1/2。將 Beta(a,b) 相對 uniform prior 解讀時，a-1、b-1 像 imagined successes/failures；所以 Beta(4,2) 相當於三次 imagined success 與一次 imagined failure。
Laplace smoothing 使用 Beta(2,2)。觀察 n 次中的 s successes 後，posterior 是 Beta(2+s,2+n-s)，mode 為
(s+1)/(n+2)即使 s=0 或 s=n，estimate 也不會直接落在零或一。這避免小樣本下把尚未見過的 outcome 認定為不可能。
P4：Puppy Training 的 posterior variance
Uniform prior 加上三次 success、一次 failure，得到 Beta(4,2)。Beta variance 為
Var(X) = ab / [(a+b)^2(a+b+1)]
= 4×2 / (6²×7)
= 2/63 ≈ 0.0317Variance 衡量的是對 success probability 本身的不確定性，不是下一隻 puppy 成功與否的 Bernoulli variance。更多 observations 會增加 a+b，通常使 posterior 更集中。
P5：Street Parking 的 belief update
十個 IID parking spots 中一個 open、九個 full。Uniform prior Beta(1,1) 更新為
X|data ~ Beta(2,10)
E[X] = 2/12 = 1/6Observed rate 是 1/10，posterior mean 則是 1/6，因 prior 提供一個 imagined success 與 failure。這個差距不是算錯，而是小樣本下 prior shrinkage 的結果。
P6：Medicine posterior 與 Beta CDF
九位 patients 中七位出現 desired effect；uniform prior 因此得到
p|data ~ Beta(8,3)題目問真正 effect probability 超過 0.6 的 posterior probability。它不是把 mean 與 0.6 比較，而是積分 posterior density 的右尾：
P(p>0.6|data) = 1-F_Beta(0.6;8,3)實作可用 1 - stats.beta.cdf(0.6, 8, 3)。P6 是 pset4 題，公開 answer key 不刊解答；distribution 與 CDF expression 只依 worksheet 推導。
P7：Thompson Sampling 的 exploration
Drug A 有六次 success、兩次 failure；Drug B 有一次 success、一次 failure，兩者都從 uniform prior 開始：
pA ~ Beta(7,3), E[pA]=0.7
pB ~ Beta(2,2), E[pB]=0.5一輪 Thompson sampling 各從兩個 posterior 抽一個 plausible success rate，再選 sample 較大的 drug。觀察結果後，替被選 drug 的 Beta parameters 加 success 或 failure。A 的 mean 較高，但 B 的 data 很少、posterior 較寬，偶爾會抽出高值而被選中。這讓演算法利用目前較佳的 A，同時探索仍有高潛力但不確定的 B。
P7 同樣是公開 key 省略的 pset4 題。官方 worksheet 與 guide 支持上述 algorithm 與 exploration/exploitation 解釋，但沒有固定 random draw，因此不存在唯一的「下一次必選哪個」答案。
Challenge：Beta 的兩個基本事實
Beta PDF 是
f(x)=x^(a-1)(1-x)^(b-1)/B(a,b), 0≤x≤1令 a=b=1 時，numerator 是一，且 B(1,1)=∫[0,1]1dx=1，所以密度在 [0,1] 恒為一，正是 Uniform(0,1)。
若 coin heads probability X~Beta(a,b)，下一次 heads 的 predictive probability 依 law of total probability：
P(heads)=∫[0,1]P(heads|X=x)f(x)dx
=∫[0,1]x f(x)dx
=E[X]=a/(a+b)Posterior mean 不只是一個 summary；在 squared-error point prediction 或下一次 Bernoulli outcome 的 predictive probability 中，它有直接決策意義。
如何使用 LLM Learning Guide
Guide 前三個 concept 是 probability-as-random-variable、continuous-parameter Bayes，以及 uniform-plus-data 得到 Beta。後三個是 Beta shape／moments、conjugacy／Laplace smoothing，以及 CDF decisions／Thompson sampling。練習時把 a,b 分別寫成 prior counts 加 observed counts，接著分清 mean、mode、variance 與 tail probability 回答的是不同問題。Decision 題最後再說明 posterior uncertainty 如何影響選擇，而不只比較 means。
材料邊界
- 本文覆蓋 P1–P7、optional challenge 與 LLM guide 六個 concept，題號完整。
- P6、P7 是 pset4 題，公開 answer key 刻意省略；本文只依公開 worksheet／guide 推導。
- Guide 第三頁僅為 wrap-up 延續與結語，不是額外 concept。
- Canvas 錄影未公開。Worksheet 與主要 guide 內容各兩頁，採短材料例外；維持
draft: true等待獨立審稿。
課程影片來源
已查核 Summer 2026 官方封存頁：課程有錄影，官方 syllabus 說明錄影透過 Canvas 提供；封存首頁的 Videos 入口實際導向 Stanford Canvas 登入頁，需要課程存取權限，因此沒有 Summer 2026 的公開播放器。下列 Stanford Online 公開的 2022 年版錄影主題與本講對應，但學期不同、講次編號也不同，僅作補充教材，不是 Summer 2026 課堂錄影。
原始影片：Stanford CS109 Probability for Computer Scientists I Beta I 2022 I Lecture 16
官方來源：
- CS109 Summer 2026 — Canvas lecture recordings (login required)
- CS109 Summer 2026 — archived official schedule
- CS109 Summer 2026 — archived syllabus and recording policy
- Stanford Online CS109 2022 公開播放清單（不同學期，補充教材）
查核日期：2026-10-10。
內容核對：已依字幕核對（2026-10-10）：讀了 2022 Lecture 16「Beta」字幕（約 64K 字元）：影片講 Beta 作為成功率的 prior、posterior 更新、mode 與 Laplace 的「一正一反」平滑，與本講一致；Thompson sampling 在字幕裡只在結尾被簡短提到，並未講解，本文 P7 的 Thompson sampling 與 Multinomial 開場不是影片內容。
更新紀錄
- 2026-10-10：標註影片狀態，核對錄影來源與取得方式。
- 2026-10-10：重查影片狀態。改為僅附相關補充影片：嵌入 Stanford Online 公開的 2022 年版同主題錄影，Summer 2026 原講次錄影需登入、未能取得。
- 2026-10-10：依字幕核對影片內容。影片主題一致；Thompson sampling 影片只一語帶過，已在標記中說明。
參考資料
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