跨週整理（一）：七週的想法怎麼互相銜接與取代

TL;DR把七週放在一起看的三種關係：同一個想法在後面的週再出現（馬可夫鏈從第 2 週用到第 4、第 6 週，權重的線性組合從第 4 週變成第 5 週的 unit）；前一週的工具是後一週的前提；講課先教一個做法、指出它不夠用、再換下一個。附三個跨週例子與四題跨週自我檢查。

🌏 English version

影片狀態：僅附官方入口或錄影清單。 這一篇是本站的跨週整理，不是課程某一週的講課，官方沒有對應的影片；各週的講課錄影與時間連結在各週導讀。影片來源與說明

⚠️ 版本提醒：本系列的講課錄影，第 0–5 週片名標示 2020，第 6 週片名標示 2023；專案規格以 2026 年課程官網為準。

TL;DR

七週各自的內容在各週導讀裡，這一篇只講週與週之間的關係，分三種：

同一個想法再出現：第 2 週的馬可夫鏈，第 4 週加上 action 與 reward 變成 Markov decision process，第 6 週拿來產生文字。
前一週是後一週的前提：沒有第 4 週「輸入乘權重、過門檻」的分類器，第 5 週的 unit 就沒有東西可接。
做法互相取代：講課常常先教一個做法，指出它在哪裡不夠用，再教下一個。

怎麼分辨這篇裡的兩種內容：寫「講課」「講者」並附連結的，是課程講的，點連結可以到那一週導讀的對應小節，那裡有錄影的時間連結。寫「本站的歸納」「本站自擬」的，是本站把幾週放在一起看之後整理或編出來的，課程沒有這樣講。

同一個想法在不同週再出現

下面每一條，都是後面那一週用到前面那一週教過的東西。週次的對應是本站依各週導讀整理的；講者當場說明「這是之前講過的」的地方，連過去的那一節會寫明。

搜尋問題的格式（第 0 週 → 第 3 週）。 第 0 週把問題寫成 initial state、actions、transition model、goal test、path cost 五樣東西（搜尋問題怎麼定義）。第 3 週講約束滿足問題時，講者先把它套進同一個格式：initial state 是空的指派，action 是加一組「變數 = 值」，goal test 是所有變數都指派了而且約束都滿足（把 CSP 當搜尋問題）。同一週前面講局部搜尋時，也是拿第 0 週的 BFS 與 A* 來對照：那些演算法同時維護很多條路徑，局部搜尋只記一個 state（最佳化與局部搜尋）。

曼哈頓距離（第 0 週 → 第 3 週）。 第 0 週把它當走迷宮的啟發式（greedy best-first search），第 3 週拿它算房子到醫院的距離，加起來當成本（最佳化與局部搜尋）。

馬可夫鏈（第 2 週 → 第 4 週 → 第 6 週）。 第 2 週用轉移模型描述天氣一天一天怎麼變（馬可夫鏈）。第 4 週的 Markov decision process 從它講起，加上 agent 可以選的 action 與每次轉移附帶的 reward（強化學習與 Markov decision process）。第 6 週用它產生文字：知道哪些詞常跟在哪些詞後面，就能一個詞接一個詞預測下去（n-gram、斷詞與 Markov chain）。

貝氏法則（第 2 週 → 第 6 週）。 第 2 週推出 P(b | a) = P(a | b) P(b) / P(a)（貝氏法則），第 6 週的 Naive Bayes 分類器用它從「正面評論裡這個詞出現的比例」反推「出現這些詞的評論是正面的機率」（bag-of-words 與 Naive Bayes）。

輸入乘權重（第 4 週 → 第 5 週）。 第 4 週的分類器是 w₀ + w₁x₁ + w₂x₂ ≥ 0（用一條線分類）。第 5 週一開始就接回這條式子，把它畫成一個 unit：輸入乘上權重、加 bias、過 activation function（一個 unit 在算什麼）。

Loss（第 4 週 → 第 5 週）。 第 4 週定義損失函數來替一個假說打分數（迴歸與損失函數），第 5 週的梯度下降要降低的就是這個數字（梯度下降）。

Overfitting（第 4 週 → 第 5 週）。 第 4 週用 regularization 與 cross-validation 對付它（overfitting、regularization 與 cross-validation），第 5 週在神經網路上換成 dropout（隱藏層、backpropagation 與 dropout）。

RNN（第 5 週 → 第 6 週）。 第 5 週結尾介紹會把輸出餵回自己的網路（recurrent neural network），第 6 週的 encoder–decoder 直接用它處理整個句子（RNN 的 encoder–decoder）。

哪一週是哪一週的前提

上一節的每一條都是一個先後關係。把它們排成表，可以看出哪幾週不能跳：

後面這一週的內容	要先讀過
第 3 週：回溯搜尋	第 0 週：搜尋問題的五樣東西
第 4 週：Markov decision process	第 2 週：馬可夫鏈與轉移模型
第 5 週：unit、梯度下降	第 4 週：權重、損失函數
第 6 週：n-gram 產生文字、Naive Bayes	第 2 週：馬可夫鏈、貝氏法則
第 6 週：encoder–decoder、attention	第 5 週：神經網路與 RNN

第 1 週（邏輯）是七週裡後面最少直接引用的一週，這是本站的歸納：上表沒有任何一列以它為前提。講者後來點名回頭提到它的地方，本系列找到一處：第 5 週用一個 unit 算 OR 時，說這是命題邏輯裡看過的 or（一個 unit 在算什麼）。第 3 週講 maintaining arc consistency 時，講者說要回到推論（inference）的想法（搜尋與推論交錯），但沒有點名是第 1 週；把它對到第 1 週是本站的推測。它和第 2 週的關係比較像對照，同樣是「從已知推出未知」，第 1 週處理確定的事實，第 2 週處理只有幾成把握的事。

講課自己換掉的做法

這門課的講法常常是先教一個做法，指出限制，再換下一個。下表每一列的限制都是講課自己說的。第三欄的連結指向接著教的那一節；限制是在更前面一節說的那四列，第二欄另外附了連到那一節的連結。

先教的做法	講課指出的限制	接著教的
Minimax 搜尋整棵樹	西洋棋這種遊戲算不到終局	Depth-limited Minimax 加 evaluation function
Model checking	要列舉全部 2 的 n 次方種真假組合（說在這一節）	推論規則與 resolution
列舉推論	算得精確但慢	拒絕取樣、概似加權
Hill climbing	會卡在局部極值（說在這一節）	Random restart、模擬退火
只檢查有沒有違反約束的回溯搜尋	會走進不必走的死路	Maintaining arc consistency
替每個 state 與 action 記一個 Q 值	State 太多時記不完	Function approximation
單一 perceptron	只能學線性可分的邊界（說在這一節）	隱藏層與 backpropagation
手寫 context-free grammar	規則寫不完（說在這一節）	從大量文字統計
One-hot 表示詞	向量很長，而且意思相近的詞向量並不相近	word2vec
RNN 的 encoder–decoder	整個輸入壓進一份 hidden state	Attention
RNN	必須逐字依序計算，難以平行	Transformer

把這張表從上往下讀，有一個模式重複了三次，這是本站的歸納：算不完的時候改用估計。第 0 週用 evaluation function 估計還沒結束的盤面，第 2 週用取樣估計算不完的機率，第 4 週用 function approximation 估計記不完的 Q 值。三個裡面，講者自己點明關聯的只有一處：他講 function approximation 時拿 depth-limited Minimax 來比。

跨週例子一：一條馬可夫鏈的三種用法

這個例子的數字來自第 2 週講課的轉移模型，三種用法分別對應第 2、4、6 週；把它們並排是本站做的。

條件。 天氣只有晴與雨。起始分佈是晴 0.5、雨 0.5。轉移模型：

今天	明天晴	明天雨
晴	0.8	0.2
雨	0.3	0.7

用法一：算一串狀態的機率（第 2 週）。 「晴、晴、雨」這三天的機率，第一天用起始分佈，之後每一天查「給定前一天」的那一格：

P(晴) × P(晴 | 晴) × P(雨 | 晴) = 0.5 × 0.8 × 0.2 = 0.08

用法二：加上 action 就是 MDP（第 4 週）。 馬可夫鏈裡沒有人做決定，轉移模型是 P(明天 | 今天)，一張 2 × 2 的表就夠了。Markov decision process 讓 agent 在每個 state 選 action，轉移模型變成 P(s' | s, a)：每個 action 各要一張表。如果這個世界有 2 個 state、每個 state 有 3 個 action，就要 3 張 2 × 2 的表，另外還要一個 reward function 說每次轉移得幾分。「2 個 state、3 個 action」是本站自擬的數字，講課的例子是格子世界。

用法三：把 state 換成詞（第 6 週）。 把「今天的天氣」換成「前一個詞」，轉移模型就變成「這個詞後面接各個詞的機率」，從語料庫數出來。照著它一個詞接一個詞抽樣，就是講課用莎士比亞作品產生句子的做法。講者當場指出限制：這樣產生的句子只保證符合統計規律，不保證有意思。

結果的意思。 三週用的是同一個假設：下一個狀態只看前面固定幾個狀態。差別在轉移模型多看什麼（第 4 週多看 action）、狀態是什麼（第 6 週是詞）。

跨週例子二：用第 4 週的規則訓練第 5 週的 unit

第 5 週講者直接報出算 OR 與 AND 的權重，沒有示範這些權重怎麼學出來；第 4 週教了 perceptron learning rule，用的例子是天氣。下面把第 4 週的規則用在第 5 週的 unit 上。兩邊的式子是講課的，這個組合與算式是本站自擬的。

條件。 第 5 週算 AND 的 unit：兩個權重都是 1，bias 是 −2，activation function 是 step function（加權和大於等於 0 輸出 1）。用第 4 週的寫法，權重向量是 w = (w₀, w₁, w₂) = (−2, 1, 1)，輸入向量是 x = (1, x₁, x₂)。

現在想讓它改算 OR。給它一筆資料：輸入 (1, 0)，正確答案 y = 1。

計算。 先看它目前怎麼答：−2 + 1 × 1 + 1 × 0 = −1，小於 0，輸出 0。答錯了。

套第 4 週的規則 wᵢ ← wᵢ + α × (y − h(x)) × xᵢ，取 α = 1。誤差 y − h(x) = 1 − 0 = 1，輸入向量是 (1, 1, 0)：

w₀ ← −2 + 1 × 1 × 1 = −1
w₁ ←  1 + 1 × 1 × 1 =  2
w₂ ←  1 + 1 × 1 × 0 =  1

新的權重是 (−1, 2, 1)。四種輸入各算一次：

x₁	x₂	−1 + 2x₁ + x₂	輸出
0	0	−1	0
1	0	1	1
0	1	0	1
1	1	2	1

結果的意思。 更新一次之後，這個 unit 算的是 OR。它和講課報的 OR 權重（bias −1、兩個權重都是 1）不一樣，但四種輸入的輸出相同：能算出同一個函數的權重不只一組。這也說明第 5 週的 unit 和第 4 週的分類器是同一個東西，第 4 週的學習規則可以原封不動拿來用。只更新一次就成功是這組數字湊巧，一般要把資料看很多輪。

跨週例子三：從貝氏法則到 Naive Bayes

第 2 週那一組數字是講者報的。第 6 週的比例裡，正負面各佔 49% 與 51% 是講者報的，loved 與 it 兩列講者沒有唸出數字，第 6 週導讀取自官方筆記的圖，這裡沿用。只用兩個詞來算是本站為了縮短例子做的簡化。

第 2 週的用法：一個證據。 下午下雨的日子裡 80% 早上多雲，40% 的日子早上多雲，10% 的日子下午下雨。早上多雲時下午下雨的機率：

P(下雨 | 多雲) = P(多雲 | 下雨) × P(下雨) ÷ P(多雲) = 0.8 × 0.1 ÷ 0.4 = 0.2

第 6 週的用法：很多個證據。 一則評論裡出現 loved 與 it 兩個詞，它是正面評論的機率是多少？資料取自第 6 週導讀的表：49% 的評論是正面、51% 是負面；正面評論有 32% 含 loved、30% 含 it；負面評論有 8% 含 loved、40% 含 it。

第 6 週在貝氏法則上多做了兩件事。一是假設每個詞出現與否彼此獨立，所以「兩個詞都出現」的機率可以拆成各自的機率相乘。二是不算分母，先算出兩個正比的數，最後正規化：

正面：0.49 × 0.32 × 0.30 = 0.04704
負面：0.51 × 0.08 × 0.40 = 0.01632

P(正面 | loved, it) = 0.04704 ÷ (0.04704 + 0.01632) = 0.04704 ÷ 0.06336 ≈ 0.742

結果的意思。 只看這兩個詞，評論比較可能是正面（約 74%）。it 在負面評論裡比較常出現，但 loved 在正面評論裡出現的比例是負面的四倍，影響大得多。講課的例子用了四個詞（另外兩個是 my 與 grandson），算出來是 0.68；完整的計算在第 6 週導讀，那一節的自我檢查算的是另外兩個詞。

「最後正規化」這一步也不是第 6 週才有的：第 2 週講聯合機率時就用過同一招，先算出正比的數，再除以總和（聯合機率、正規化與四條規則）。

跨週自我檢查

四題都是本站自擬的，每一題要用到不只一週的內容。

自我檢查｜先寫下答案，再展開。 用例子一的起始分佈與轉移模型，「雨、雨、晴」這三天的機率是多少？如果改成 Markov decision process，轉移模型要多看哪一樣東西？

答案

0.5 × 0.7 × 0.3 = 0.105。第一天雨用起始分佈的 0.5，第二天查「今天雨、明天雨」的 0.7，第三天查「今天雨、明天晴」的 0.3。

改成 MDP 之後，轉移模型是 P(s' | s, a)，要多看 agent 選的 action；另外每次轉移還有一個 reward。

對應的小節：馬可夫鏈、強化學習與 Markov decision process

自我檢查｜先寫下答案，再展開。 例子二更新後的權重是 (−1, 2, 1)。再給它一筆資料：輸入 (0, 0)，正確答案 y = 0，α 仍是 1。權重會怎麼變？

答案

不會變。目前的輸出是 −1 + 0 + 0 = −1，小於 0，輸出 0，和正確答案相同。誤差 y − h(x) = 0，更新式後面整項是 0。第 4 週講的三種情況裡，這是「估對了，權重不變」的那一種。

對應的小節：用一條線分類、一個 unit 在算什麼

自我檢查｜先寫下答案，再展開。 第 1 週的 model checking 與第 2 週的列舉推論，講課各自說它們的問題是什麼、各自換成什麼？兩者有什麼共同點？

答案

Model checking 要列舉全部 2 的 n 次方種真假組合，符號一多就列不完，講課換成推論規則與 resolution，直接操作句子。列舉推論要把沒觀察到的變數的所有取值加總，算得精確但慢，講課換成拒絕取樣與概似加權。

共同點是兩者都把所有可能的情況走一遍，所以都對，也都隨變數個數快速變慢；10 個命題符號是 1,024 種組合，20 個就超過一百萬。這個共同點是本站的歸納。兩者換掉的方向不同：第 1 週換成另一種同樣精確的方法，第 2 週換成近似。

對應的小節：model checking 的極限、推論規則、推論、近似推論

自我檢查｜先寫下答案，再展開。 例子三裡，如果負面評論含 loved 的比例從 8% 改成 32%（和正面一樣），其他數字不變，P(正面 | loved, it) 是多少？

答案

正面：0.49 × 0.32 × 0.30 = 0.04704。負面：0.51 × 0.32 × 0.40 = 0.06528。正規化：0.04704 ÷ (0.04704 + 0.06528) = 0.04704 ÷ 0.11232 ≈ 0.419。

loved 在兩邊的比例一樣時，它對結果沒有影響，等於只看 it：0.49 × 0.30 = 0.147 對 0.51 × 0.40 = 0.204，同樣是 0.419。結論從偏正面（0.742）變成偏負面。一個詞要能幫忙分類，它在兩類裡出現的比例必須不同。

對應的小節：貝氏法則、bag-of-words 與 Naive Bayes

系列連結

課程影片來源

這一篇是本站寫的跨週整理，沒有對應的那一週，不嵌影片。文中談到某一週內容的地方都連到那一週導讀的小節，錄影的播放器與時間連結在那裡。官方 CS50 YouTube 播放清單（8 支：導論加第 0–6 週講課）已於 2026-10-10 即時核對，其中沒有跨週綜論的影片。

課程與錄影入口：

查核日期：2026-10-10。

更新紀錄

2026-10-10：標註影片狀態，核對錄影來源與取得方式。
2026-10-10：重查影片狀態。即時核對官方播放清單，沒有對應本篇的單一講次錄影，狀態維持僅附官方入口。
2026-10-13：第 6 週的描述改為與現行課程一致：專案是 Parser 與 Attention（原寫 Questions），2023 年版講課沒有 TF-IDF（改列 Naive Bayes、word2vec），Parser 是寫 CFG 文法並用 NLTK 剖析（原寫 CYK 與生成）。
2026-10-13：依重寫後的七週導讀整篇重寫，角色改為跨週整理。原本的知識弧線圖、三階段表格與「核心抽象遞進」圖拿掉，其中有不少講課沒有講的內容（條件獨立與變數消去、PageRank 的平穩分佈、SVM 的核技巧、Q-learning 的「無模型、離線策略、收斂」、反向傳播的鏈式法則、CNN 的平移不變性、「符號主義到連結主義」的說法）與錯的專案描述（Heredity 寫成概似加權取樣、Shopping 寫成要標準化）。新內容是三種跨週關係，每一條連到各週導讀的小節；三個算到底的跨週例子；四題附答案的跨週自我檢查。專案對照表移到跨週整理二。原本沒有依據的數學補強清單與書單拿掉。標題的範圍標示由「課程總覽」改為「主題單元」，避免和真正的課程總覽撞同一個角色。用語：「Week N」改「第 N 週」，「播放列表」改「播放清單」。
2026-10-13：依獨立審稿修正：「講課自己換掉的做法」表有四列的限制是在前一節說的，各補一個連到那一節的連結，說明句同步改寫；例子三與最後一題自我檢查改用 loved 與 it 兩個詞，避免和第 6 週導讀的自我檢查重複；補上講者回頭提到第 1 週的地方；tags 從 12 個整理成 5 個。
2026-10-14：依複審修正：講者點名回頭提到第 1 週的只有第 5 週一處；第 3 週那一句講者沒有點名第 1 週，改標為本站的推測。tags 再拿掉 python，剩 4 個。

參考資料

本系列七週導讀，本文每一條課程內容的出處，各篇附講課錄影與時間連結：第 0 週 Search、第 1 週 Knowledge、第 2 週 Uncertainty、第 3 週 Optimization、第 4 週 Learning、第 5 週 Neural Networks、第 6 週 Language
CS50 AI 課程官網 — 各週講課頁與官方筆記的入口
CS50 AI YouTube 播放清單
站內：世界名校 AI／CS 課程地圖 — A3 分級定義

跨週整理（一）：七週的想法怎麼互相銜接與取代｜Harvard CS50 AI 主題單元