Stanford CS103 導讀：一門數學課，開學第一件事是裝 C++ 編譯器

🌏 English version

CS103: Mathematical Foundations of Computing 是 Stanford 電腦科學系大學部骨架裡的第一門理論課。它的名字聽起來像一門離散數學課，前半段也確實是——邏輯、集合、函數、圖、歸納法。但它的後半段整個換軌，講的是有限自動機、正規語言、上下文無關文法、圖靈機、可判定性、停機問題，最後停在 P 對 NP。

用課程自己在 syllabus 裡的說法，這是一門關於「computing 有沒有物理定律」的課。它把前半段當成工具，並且把整門課形容成「a course in both art appreciation and practice」：先帶你逛過去一百五十年最漂亮的幾個結果，再要你自己拿起畫筆。

這篇是把現行課程網站、八份 problem set、二十多份自製講義、Honor Code 頁面與兩個封存學期版逐頁讀完之後寫的。要處理的是「進去之後會發生什麼事」：課程真正的軸心、作業實際長什麼樣、難度在哪一份轉折、以及沒修課的人拿得到什麼。它在整份修課階梯上的位置，Stanford CS 課程導讀那篇已經排過，這裡不重複。不包含逐題解法——解答本身也不公開，原因下面會講。

這門課的硬事實

先修條件是 CS106B（或 CS106X、或同等背景），而且可以同時修。ExploreCourses 的條目寫得很直接：Prerequisite: CS106B or equivalent. CS106B may be taken concurrently with CS103.

數學先修低到會讓人不敢相信。課程自己的「Mathematical Prerequisites」講義第一句就把門檻寫死：「The most advanced level of mathematics you'll need for this course is high school algebra.」三角函數、複數、微積分、極限，還有「especially」在座標軸上畫函數圖形，全部用不到。它列出的先修技能只有兩項：把多項式乘開，以及移項。

課號在 100 系列，但它是研究生也在修的課。syllabus 補了一條學分下限：大學部與 CGOE（線上）學生必須以五學分修，不接受降學分，理由是系上與學校政策。只有已入學的研究生可以彈性選學分數，而且課程內容與要求完全一樣，彈性純粹是為了選課帳面方便。

最反直覺的一條寫在課程描述最後：這門課會勸一部分人不要修它。

Students with significant proofwriting experience are encouraged to instead take CS154.

也就是說，如果你已經會寫證明，官方建議你直接去修 CS154: Introduction to the Theory of Computation。後者的先修條件正是這門課，但兩者的計算理論部分大量重疊。差別在於這門課額外花了半個學期，教你怎麼把證明寫成別人看得懂的樣子。

授課者不是固定的一位。2026 年暑期版由 Robyn Reiss 開，2026–27 學年秋季是 Sean Szumlanski、春季是 Keith Schwarz。這件事對自學者有實際影響，下面「拿得到什麼」那節會回來講。

前半教怎麼證明，後半教什麼證不出來

講次表的轉折點很好認。以現行的暑期版為例，開頭七講是集合論與證明入門、否定、命題邏輯與量詞、函數、圖、鴿籠原理、數學歸納法。接著整個換軌：有限自動機、正規表達式、NFA 轉換、上下文無關文法、圖靈機、R 與 RE、可判定性與停機問題，最後一講收在 P 對 NP 與複雜度理論。

課程自己在 problem set 的導言裡標記了這個轉折，而且標得很清楚。第四份作業的第一句話是「這份是最後一份純離散數學的作業」，第五份的第一句話是「這將是你第一次踏進計算理論」。

這個結構決定了課程真正的軸心。前半段教的不是離散數學本身，是把「你相信某件事是對的」翻譯成「你能讓別人不得不同意」的能力。 後半段把這個能力轉向一類新問題——不是「這個程式怎麼寫」，而是「這個程式存不存在」。停機問題不是難題，是沒有解的問題，而你要能證明它沒有解。

實用上的用法是這樣。如果你的目標只是把離散數學補起來——面試前複習 Big-O、圖、遞迴——那麼這門課的前半段就夠了，後半段是另一門課。反過來，如果你真正想要的是計算理論，那麼比較該修的其實是 CS154，而 CS103 前半段是你缺的那塊墊腳石。

一門數學課，開學第一件事是裝 C++ 編譯器

這是外界介紹 CS103 時幾乎不會提的一件事：它有程式作業。

第零份作業（Problem Set 0）沒有任何數學。它要你下載安裝 Qt Creator，匯入課程提供的 ZIP 專案，編譯執行一個 Honor Code 小測驗程式。程式會產生一個完成碼檔案，你把那個檔案交上去。syllabus 寫得很白：「You will need to download and install Qt Creator to complete the coding assignments.」

程式作業不是點綴，它貫穿整學期，而且形式一直在變：

• 第一、二份用 C++ 當一階邏輯的執行環境。你會拿到 Person、Cat、Robot、Loves 四個布林函式，然後被要求把 ∃x. (Person(x) ∧ Loves(x, x)) 這種公式實作成一個吃 std::set<Entity> 回傳 bool 的 C++ 函式。這是把「你以為你看懂了這條公式」變成「編譯器同意你看懂了」的裝置。
• 第五、六份改成圖形工具。starter 專案裡帶一個自動機編輯器，你在裡面拉狀態、拉轉移邊設計 DFA 與 NFA，存檔交出去自動評分。正規表達式與 CFG 也各有自己的答案檔格式與本機測試器。
• 第七份在圖靈機那一段還是有程式題，而且是那份作業裡唯一照常給分的部分。

所以 CS103 的實際體驗不是「一學期寫紙筆證明」，而是一半的題目有自動評分器可以先打臉你，另一半沒有。這個落差本身就是課程設計：syllabus 在講評分標準時特別提醒，證明沒有編譯器，所以送出前要自己讀過。

講義才是主體，題目只是入口

CS103 課程網站首頁的側欄裡，掛著一整排以「Guide to」開頭的自製講義。這不是補充教材，是課程的骨幹——每一份 problem set 的導言都會指定你先讀哪幾份，然後才准動筆。

它們大致分三類。一類是寫作指南：Guide to Proofs、Guide to Proofs on Sets、Guide to Proofs on Discrete Structures、Guide to Induction。一類是逐條檢查表：Proofwriting Checklist、Induction Proofwriting Checklist、Discrete Structures Proofwriting Checklist、Logic Translation Checklist。一類是動畫式的單一定理拆解，做成逐頁展開的 PDF。這一類包括 Guide to Negation、Guide to the Subset Construction、Guide to Self-Reference、Guide to Cantor's Theorem 與 Guide to the Lava Diagram。

其中最值得單獨拿出來講的是 Proofwriting Checklist。它不是一頁清單，是一份長度接近一篇論文的文件，列出八條準則、每一條都附反例與練習題。而且第三份作業的導言把它的地位講死了：「We will be applying the items on this checklist when grading your work」——這是評分規準，不是建議。

那八條分別處理：把假設與待證明的東西清楚寫出來、每個句子都要承重、變數要正確引入與界定範圍、對特定變數做特定主張、不要複述定義而要使用定義、寫成完整句子與段落、正文不要出現量詞與邏輯連接詞符號，以及一個我沒在別處看過的命名——「Contradiction Sandwich」：整份證明外面包一層「假設反面成立⋯⋯與假設矛盾」，但中間那一大塊其實是一個完整的直接證明，把頭尾兩句拿掉照樣成立。課程的判定是：這種證明邏輯正確，但風格很差，因為那層外殼沒有做任何事。

對自學者來說，這一批講義的價值比講次投影片高得多。投影片你可以在任何一本教科書找到替代品；「一個教了十幾年這門課的人，逐條寫下學生會怎麼寫壞一份證明」你找不到替代品。

它明令禁止生成式 AI，而理由跟解答被鎖起來是同一條

2026 年還在明文全面禁用 AI 的正課不多，CS103 是其中一門。Honor Code 頁面寫得沒有轉圜空間：

University guidance on the use of generative AI in classroom settings treats use of generative AI analogously to receiving assistance from another human. As a result, using ChatGPT or other generative AI tools on any graded work is a violation of the Honor Code, regardless of whether that use is disclosed.

「regardless of whether that use is disclosed」這一句是關鍵——不是揭露就沒事，是用了就違規。

更值得注意的是，這條規定跟另一件事共用同一個理由。同一頁的 Rule 1 把「看不屬於你的解答」定義成違規，並且特別點名往屆的解答集：課程明說他們見過的違規案例裡有很多是使用舊解答，所以連「拿別人的解法來確認自己的想法」都算。而在 CS103 的世界觀裡，AI 和往屆解答是同一類東西——都是替你完成那個從卡住到想通的過程，而那個過程就是這門課本身。

配套的還有一條相對少見的補救條款，明說是仿照 Harvard CS50 的做法：如果你真的違規了，在該次作業的遲交期限後 72 小時內自首，唯一的懲罰是該次作業零分，不會再降成績、也不會送到學校的 Community Standards 辦公室。這條只適用作業，不適用考試。

作業長什麼樣

以現行的暑期版（八份，PS0 到 PS7）為例，逐份看下來的難度曲線是這樣：

真正的分水嶺有兩個，而它們不是同一個。內容上的分水嶺在 PS5，因為那是主題整個換軌的地方。工作量上的分水嶺在 PS2——那份作業有九道必做題加一道選做題，同時要求你寫 C++、把英文句子翻成一階邏輯公式、還要證明 Yablo 悖論裡每一條敘述既非真也非假。前面兩份作業有大量鷹架，到 PS2 鷹架就撤了。

另外兩件從作業頁面才看得到的事：

課程會用調整評分規則來替學生擋考試週。 PS4 落在期中考之後、PS7 落在期末考之前，兩份都掛了專屬的評分公告。PS7 的做法特別明確：筆試部分只要有誠意作答就給滿分，但同一頁提醒你那些內容仍在期末考範圍內，「we recommend treating it as you would any other problem set」。

每份作業都附一份逐日進度表。 正規學期版的作業頁面有一節就叫 Timeline，直接寫「第一題星期六晚上前、第二題星期日晚上前⋯⋯第七題星期四晚上前」。這是這門課對「一份作業要花多久」最誠實的官方答案：一份 problem set 的預期跨度是六天，不是一個晚上。

還有一個彩蛋值得知道。正規學期版最後一份作業的最後一題叫 Grand Challenge Problem，題目是「證明或推翻 P = NP」，標注是：

(Worth an A+, $1,000,000, and a Ph.D)

下面接著寫「認真花十五分鐘試試看」，然後說解不出來就交你想得到最好笑的答案。

同一門課，暑期版跟正規學期版差了快一倍

這是自學者最容易踩的坑，而且它不會有任何錯誤訊息提醒你。

web.stanford.edu/class/cs103/ 這個網址永遠指向當下正在開的那一屆。我讀的時候它指向 2026 年暑期班：十五講、八份作業、一次期中一次期末。但同一年春季那屆是二十八講、十份作業，講次拆得細得多——光「有限自動機」就分三講，「圖靈機」三講，「不可解問題」三講，最後還有一堂 Wrap-Up。

換句話說，如果你照著今天首頁看到的講次表排自學進度，你可能拿到的是一份壓縮過的版本。 兩個版本的主題集合幾乎一樣，但拆解密度差很多，而拆解密度正是這種課最要緊的東西。

判斷方法很簡單：封存網址結尾那組代碼的最後一位就是季別，暑期班的尾數是 8。要排進度，就挑尾數 2（秋季）或 6（春季）的那一屆。 完整的代碼對照放在文末附錄。

順帶一提，暑期版反而多了幾份正規學期版沒有的講義（Guide to Elements and Subsets、Guide to Cantor's Theorem，以及一份把課程涵蓋的定理按年代排開的 Timeline of CS103 Results，從西元前一五五〇年的萊因德紙草書排到現代）。所以最合理的做法是：講次表用正規學期版，講義清單用現行版。

自學者實際拿得到什麼

逐項講，拿得到的和拿不到的分得很開。

拿得到：

• 全部講次投影片。 每一講的頁面掛著 PDF，直接下載，不需要登入。
• 全部作業題目。 八到十份，題目、提示、以及每題後面那句「想深入的話去修哪門課」都在。
• 全部 starter 檔案。 ZIP 檔公開下載，包含自動機編輯器與本機測試器。這代表自動評分的那些題目，你可以自己判分——DFA、正規表達式、CFG、一階邏輯翻譯這幾類都在本機跑測試。
• 全部自製講義與檢查表。 上面講的那一整排。
• 十六屆的封存版本，附授課者自己的改版說明。 這是我認為最被低估的一項：Keith Schwarz 在 keithschwarz.com/cs103 維護了一個個人封存頁，收錄他教過的每一屆 CS103 網站，並且在每一屆下面寫一段他當年為什麼那樣改。例如 2021 年秋季那屆的說明裡，他描述自己發現學生的兩個共同盲點——分不清「假設一個全稱敘述」與「證明一個全稱敘述」的差別，以及第一次學寫證明的同時又要處理集合論定義——然後解釋他怎麼重排課程來對付這兩件事。一門課的講師公開自己的教學設計檢討，這種東西不好找。
• 一份已經從現行網站消失的講義。 2020 年秋季那屆的教材目錄是開放的目錄列表（cs103.1212/materials/），裡面有一份現在的網站上找不到的 handout，叫 Ten Techniques to Get Unstuck。它先拆穿一個迷思——新手以為寫證明是「讀題、沉思、靈光一閃、寫出傑作」，而真實流程是「讀題、慌一下、列出假設與待證、揉掉一堆紙、回到第三步」——然後給十招：釐清起點與終點、寫下相關定義、畫圖、試小案例、倒著推、找一個類似的證明、動假設、動結論、換證明技巧、去睡一覺。同一個目錄裡還躺著那一屆的四次期中考題與每週的 tutorial 講義。

拿不到：

• 解答。 所有 restricted/ 底下的東西——每份作業的解答、練習期中考、練習期末考——一律導向 Stanford 的 WebLogin，非在校生打不開。這不是疏漏，是 Honor Code Rule 1 的直接後果。我也試過更早的封存版本（例如 2019 年秋季那屆），解答 PDF 同樣鎖住。
• 上課錄影。 每一講的頁面都寫著同一句話：「The complete archive of this quarter's lecture recordings is available on Canvas.」影片走 Panopto、掛在 Canvas 裡，校外進不去。我沒有找到任何一屆的官方公開錄影；2012 年那屆的頁面上有一條影片連結，但它指向的是 Stanford 早年那套已經下線的線上課程系統。
• 人改你的證明。 這是這門課最無法自助的一項，而且它剛好就是課程的重心：學期成績有四分之三來自兩次閉卷考試，作業只佔五分之一。你可以自己判分的都是自動評分的那半，需要人讀的那半沒有人讀。

怎麼補上第三項：課程自己在 How to Succeed 講義裡給了一個不需要別人的做法——寫完一份證明，放一天，隔天再讀一次；如果你自己都看不懂自己寫了什麼，那助教也不會看懂。它另外建議一個純自測的練習：把講義裡的定理蓋住證明，自己重寫一遍。

怎麼開始

今晚就能做的一件事：打開 Guide to Proofs，讀到「直接證明」那一節，然後拿一張白紙分成兩欄，左邊寫「我假設什麼」、右邊寫「我要證明什麼」，用它去處理第一份 problem set 裡任何一道證明題。

先不要管證明寫不寫得完。這個兩欄動作本身就是課程第一份講義教的第一招，而多數人卡住的原因不是不會證，是根本沒有把「起點」跟「終點」分開寫下來過。寫完之後再打開 Proofwriting Checklist，拿那八條去掃你剛寫的東西——你會在第一次就抓到至少一項。

附錄：數字與查證方式

• 學分：ExploreCourses 條目標示 3–5 學分。syllabus 另外規定，大學部與 CGOE 學生必須以五學分修，只有已入學研究生可以在 3 到 5 之間選；課程內容與要求不隨學分數改變。
• 成績組成（2026 暑期版 syllabus）：作業 20%、考試 75%、課堂參與 5%。作業分數採「各次分數開根號後加總，除以各次滿分開根號後加總」，效果是把 81% 抬成 90%；不丟掉最低一次。考試分數的權重是高分那次 7/15、低分那次 5/15、期末再額外 3/15，因此期末的實質權重高於期中。課堂參與靠 PollEV 點名，可以缺三次仍拿滿分；線上學生免計，權重按比例重新分配。
• 及格門檻：作業與考試兩塊必須「各自」達到及格水準才算通過，syllabus 給的粗估是作業約 60%、考試約 50%，並聲明最終標準由授課者在學期結束後決定。歷年成績中位數落在 B/B+ 交界附近。
• 遲交：三天免罰遲交額度，每份作業最多用一天；用完後遲交乘 0.7；超過 24 小時一律不收。PS7 不得使用遲交額度。
• 講次與作業數：2026 暑期版 15 講、8 份作業（PS0–PS7）、1 次期中 1 次期末；2026 春季版 28 講、10 份作業（PS0–PS9）。2020 秋季版的封存目錄裡有 4 份期中考題。
• 講義長度：Proofwriting Checklist 的網頁版約一萬四千字、八條準則各附練習；Guide to Proofs on Sets、Guide to Induction、Guide to the Myhill-Nerode Theorem 各約一萬字上下。這些是我抓取網頁後計字的粗估，不是官方數字。
• 封存網址編碼：cs103.1268 → 學年結束於 2026、季別碼 8（暑期）。季別碼 2=秋、4=冬、6=春、8=暑。此規則由我逐一測試 1212 到 1268 各代碼並比對頁面自述的學期得出，Stanford 沒有公開說明頁。
• 未能確認的三項：（一）我沒有找到任何一屆 CS103 的官方公開上課錄影，但「找不到」不等於「不存在」，不排除有非官方轉載。（二）Stanford 的課程封存區沒有可瀏覽的索引頁（web.stanford.edu/class/archive/cs/cs103/ 回 404），所以「最早的封存版本是哪一屆」我只能逐碼測試，測到 2020 年秋季仍存在就停了，更早的沒有窮舉。（三）ExploreCourses 的 CS 103 描述叫讀者去加選 CS103A，但以 CS103A 搜尋只會搜到 CS 103 本身；目錄裡實際存在的伴隨課是 CS 103ACE（一學分、Satisfactory/No Credit、與 CS103 同修）。這兩個代碼之間的關係我沒有查到官方說明。

參考資料

• CS103 課程官網（永遠指向當屆）——講次表、作業、講義的入口；證明它指向的是當下開課的那一屆
• CS103 Summer 2026 封存版（cs103.1268）——15 講 8 份作業的壓縮版，本文引用的 syllabus 與作業頁均出自此
• CS103 Spring 2026 封存版（cs103.1266）——28 講 10 份作業的正規學期版，證明兩版差距
• CS103 Syllabus（Summer 2026）——學分硬規定、成績公式、遲交政策、Qt Creator 要求
• CS103 and the Honor Code——生成式 AI 全面禁用、往屆解答禁看、Regret Clause 的原文
• Mathematical Prerequisites——證明數學先修只到高中代數
• How to Succeed in CS103——課程對讀書方法的官方立場，以及歷屆學生的建議彙整
• Proofwriting Checklist——八條評分準則與「Contradiction Sandwich」的原始出處
• Guide to Proofs——本文「怎麼開始」那節建議的起點
• Problem Set 4（Summer 2026）——「最後一份純離散數學」與考後放寬評分的公告
• Problem Set 5（Summer 2026）——「第一次踏進計算理論」與自動機編輯器
• Problem Set 7（Summer 2026）——不得使用遲交額度、筆試題改為完成度計分
• Problem Set 9（Spring 2026）——P 對 NP 的 Grand Challenge 原文
• ExploreCourses：CS 103——先修條件、學分區間、開課學期與授課者，以及「有證明經驗者請改修 CS154」那句
• Keith Schwarz 的 CS103 封存頁——十六屆課程網站與授課者自己的改版說明
• Ten Techniques to Get Unstuck（Fall 2020）——已從現行網站消失的十招卡關對策
• Stanford Qt Creator 安裝指南——程式作業的開發環境
• 站內：Stanford CS 課程導讀：按先修關係排一次
• 站內：Stanford CS329A 導讀