Uncertainty——機率、貝氏網路、馬可夫模型與遺傳推斷｜Harvard CS50 AI 第 2 週

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影片狀態：已附影片。 全片 1:54:29。本文的「講課導讀」依這支錄影的英文字幕逐段寫成，每一節開頭有時間連結，點了頁面上的播放器會跳到那一段。講課沒有介紹本週專案，專案部分依課程官網寫成。跳到播放器・影片來源與說明

⚠️ 版本提醒：本週講課影片為 2020 年春季錄製；專案規格、distribution code、check50 slug 均以 2026 年課程官網最新版為準（ai50/projects/2024/x/...）。

TL;DR

第 2 週處理「不能確定」的情況：AI 手上的資訊常常只有幾成把握，仍然要能下結論。錄影的前半是機率的基本工具（條件機率、貝氏法則、聯合機率、邊際化），後半把這些工具裝進三種模型：貝氏網路描述變數之間誰影響誰，馬可夫鏈描述狀態怎麼隨時間變，隱藏式馬可夫模型處理狀態看不到、只看得到觀察的情況。兩個專案分別對應貝氏網路（Heredity）與馬可夫鏈（PageRank）。

這篇分成兩半：前半「講課導讀」跟著錄影走，後半是兩個專案的實作說明，講課沒有提到專案。

課程影片與時間軸

全片 1 小時 54 分，下面「講課導讀」的十個小節依序涵蓋 2:13 之後的全部內容，開頭兩分鐘是上週回顧與本週動機。每一節開頭和文中的時間連結都能點，頁面上的播放器會跳到那一段；某一節看不懂時，直接回去聽講者怎麼講。

YouTube：Week 2 Uncertainty (2020 錄製)

時間說明：下表時間已依帶時間碼的英文字幕核對（2026-10-13），是講者開始講各主題的位置，不是官方章節。此表只描述這支 2020 年的錄影；課程目前版本的講課內容與順序可能不同，且影片本身沒有介紹本週專案。

官方筆記與投影片：Week 2 Notes

講課導讀

以下依錄影的英文字幕逐段寫成。光讀字幕看不到投影片，所以網路圖與表格的畫面本文不重建，只寫講者口頭說出的數字與推理；貝氏網路那幾張機率表講者只唸了其中幾格，其餘的數字取自講課公開的原始碼，會在該處標明。每節結尾的自我檢查都是本文出的題目，不是講課內容；其中沿用講課例子的會寫明，標「本文自擬」的連例子也是本文編的。文中標「本文算的」的數字，是本文拿講課的數字自己算出來的，講者沒有唸。

可能世界與機率的兩條公理

錄影 2:13–9:46

講者 Brian Yu 先接上週：上週的 AI 用邏輯句子表示知識，推出來的結論都是確定的（這段回顧在錄影開頭，0:00）。實際上機器很少能確定什麼事。探索環境的機器人不知道自己確切在哪裡，只有感測器的資料；預報天氣的程式不知道明天一定怎樣，只能說有多大的可能。這一週要讓 AI 在只有部分把握時仍然能推論。

機率的起點是可能世界（possible world），記作 ω。擲一顆骰子有六個可能世界：擲出 1、2、3、4、5、6。每個可能世界有一個機率，寫成 P(ω)。所有機率都要守兩條公理：

1. 0 ≤ P(ω) ≤ 1。0 代表不可能發生，例如骰子只有 1 到 6，擲出 7 的機率是 0；1 代表一定發生，例如擲出的點數小於 10。數值越大越可能發生。
2. 所有可能世界的機率加起來等於 1。

公平的骰子每一面的機率都是 1/6，六個加起來是 1。

只有一顆骰子時沒什麼好算的。講者接著換成兩顆骰子，一紅一藍，關心的是兩顆的點數和（6:07）。可能世界是紅、藍點數的所有組合，共 6 × 6 = 36 個，每一個的機率相同。但點數和的機率並不相同：

• 和為 7 有六種組合（1 和 6、2 和 5、3 和 4、4 和 3，依此類推），機率是 6/36 = 1/6。
• 和為 12 只有一種組合（紅 6、藍 6），機率是 1/36。

這種「什麼證據都沒有時，相信某件事有多大可能」的機率叫無條件機率（unconditional probability）。

自我檢查｜先寫下答案，再展開。 沿用講課的兩顆骰子，點數和為 4 的機率是多少？

條件機率：有了證據之後

錄影 9:46–17:20

講者說，AI 實際在算的多半不是無條件機率，因為它通常已經知道一些事。條件機率（conditional probability）是在已經看到某些證據之後，相信某件事的程度，寫成 P(a | b)：直線左邊是想知道機率的事，右邊是已經確定的證據，讀作「給定 b，a 的機率」。他舉了三個例子：已知昨天下雨，今天下雨的機率；已知目前的路況，原本那條路線仍是最佳路線的機率；已知檢驗結果，病人得了某種病的機率。

公式是（12:38）：

P(a | b) = P(a ∧ b) / P(b)

講者的解釋是：既然 b 已經成立，b 不成立的那些可能世界都可以丟掉。在剩下的世界裡，看 a 也成立的佔多少。

他用骰子走了一遍（13:21）。已知紅骰子是 6，點數和為 12 的機率是多少？

• 證據的機率：P(紅 = 6) = 1/6。
• 兩件事都成立的機率：紅是 6 而且和是 12，只有紅 6 藍 6 一種，P(和 = 12 ∧ 紅 = 6) = 1/36。
• 相除：(1/36) ÷ (1/6) = 1/6。

這個答案和直覺一致：紅骰子已經是 6，要湊到 12 只剩藍骰子也擲出 6 這一條路，機率正是 1/6。

把公式兩邊同乘 P(b)，再把 a、b 對調，會得到另外兩個寫法，三者是同一件事：

P(a ∧ b) = P(b) P(a | b)
P(a ∧ b) = P(a) P(b | a)

後面推導貝氏法則和計算貝氏網路的聯合機率，用的都是這兩行。

自我檢查｜先寫下答案，再展開。 沿用講課的兩顆骰子。「點數和至少 10」的無條件機率是多少？已知紅骰子是 6 之後，這個機率變成多少？

隨機變數、機率分佈與獨立

錄影 17:20–26:29

到這裡談的都是「發生或沒發生」的事件。講者接著引入隨機變數（random variable）：一個變數，加上它能取的值的範圍。他舉了四個：

要取哪些值由寫程式的人決定。

機率分佈（probability distribution）替隨機變數的每個可能值各給一個機率（19:24）。以 Flight 為例：準點 0.6、延誤 0.3、取消 0.1，加起來是 1。同一件事常寫成向量 P(Flight) = ⟨0.6, 0.3, 0.1⟩，讀的人要知道順序是準點、延誤、取消。

接著是獨立（independence）：知道一件事有沒有發生，不會改變另一件事的機率（21:57）。紅骰子與藍骰子的點數是獨立的，知道紅的結果對藍沒有幫助。多雲與下雨就不是，天空多雲時下雨的機率比較高。

數學上的定義從上一節的 P(a ∧ b) = P(a) P(b | a) 來。如果 a、b 獨立，知道 a 不影響 b，P(b | a) 就等於 P(b)，於是：

P(a ∧ b) = P(a) P(b)

兩件事只要滿足這個等式就是獨立的。紅 6 而且藍 6 的機率是 1/6 × 1/6 = 1/36，和直接數可能世界的結果相同。

講者舉了一個不獨立的例子（24:40）：紅骰子擲出 6，而且同一顆紅骰子擲出 4。如果照獨立的公式相乘，會得到 1/6 × 1/6 = 1/36，但同一顆骰子擲一次不可能既是 6 又是 4，真正的機率是 0。正確的做法要用條件機率：P(紅 = 6) × P(紅 = 4 | 紅 = 6) = 1/6 × 0 = 0。

自我檢查｜先寫下答案，再展開。 沿用講課的兩顆骰子。「紅骰子是 6」與「點數和是 7」獨立嗎？「紅骰子是 6」與「點數和是 12」呢？用 P(a ∧ b) = P(a) P(b) 檢驗。

貝氏法則：把條件機率反過來

錄影 26:29–34:00

講者說貝氏法則（Bayes' rule）是機率裡最重要的規則之一，而且用已經有的東西就推得出來。條件機率那一節的兩行式子，右邊都等於 P(a ∧ b)，所以彼此相等：

P(a) P(b | a) = P(b) P(a | b)

兩邊同除以 P(a)：

P(b | a) = P(a | b) P(b) / P(a)

它的用處是用一個方向的條件機率，算出反方向的條件機率。

講課的例子（29:22）：早上看到天空多雲，下午下雨的機率是多少？手上有三個數字：

• 下午下雨的日子裡，80% 早上是多雲的：P(多雲 | 下雨) = 0.8
• 40% 的日子早上多雲：P(多雲) = 0.4
• 10% 的日子下午下雨：P(下雨) = 0.1

代進去：

P(下雨 | 多雲) = P(多雲 | 下雨) P(下雨) / P(多雲) = 0.8 × 0.1 / 0.4 = 0.2

早上多雲時，下午下雨的機率是 0.2。

講者把這件事說得更一般（32:12）：知道「在某個看不到的原因之下，出現某個看得到的結果的機率」，就能算出「看到這個結果時，背後是那個原因的機率」。前者通常比較容易有資料。他舉了兩個情境：已知得病的人有多少比例檢驗呈現某個結果，反推檢驗出這個結果的人得病的機率；已知偽鈔有多少比例邊緣的字是糊的，反推一張字糊的鈔票是偽鈔的機率。這兩個情境他只講了關係，沒有給數字。

自我檢查｜先寫下答案，再展開。 沿用講者的偽鈔情境，數字是本文編的：偽鈔有 90% 字是糊的，所有鈔票裡 1% 是偽鈔，所有鈔票裡 5% 字是糊的。拿到一張字糊的鈔票，它是偽鈔的機率是多少？（本文自擬）

聯合機率、正規化與四條規則

錄影 34:00–49:42

聯合機率（joint probability）是好幾件事同時成立的機率。沿用上一節的天氣：只知道 P(多雲) = 0.4、P(下雨) = 0.1 這兩個分佈，看不出多雲和下雨之間的關係。要看得出來，需要兩個變數每一種組合的機率，也就是聯合機率分佈：

講者唸了其中三格（0.08、0.32、0.02）；右下角的 0.58 是本文用四格總和為 1 補上的。

有了這張表就能算條件機率（36:07）。問題：已知下雨，多雲與不多雲的分佈是多少？照定義：

P(C | 下雨) = P(C, 下雨) / P(下雨)

式子裡的逗號和 ∧ 是同一個意思。講者在這裡指出一個之後反覆使用的手法：P(下雨) 只是一個常數，除以它等於乘上某個常數 α，可以先不管它是多少：

P(C | 下雨) = α P(C, 下雨) = α ⟨0.08, 0.02⟩

0.08 與 0.02 加起來不是 1，而機率分佈必須加起來是 1。所以只要找一個常數把它們等比例放大到總和為 1，這個動作叫正規化（normalize）。兩個數字都乘 10，得到 ⟨0.8, 0.2⟩：已知下雨，多雲的機率是 0.8。用一句話說，條件分佈與聯合機率成正比。

接著是四條規則。

否定（40:33）：P(¬a) = 1 − P(a)。a 發生與不發生是全部的情況，兩者相加要等於 1。

排容（inclusion-exclusion）：P(a ∨ b) = P(a) + P(b) − P(a ∧ b)。講者的例子是紅骰子是 6 或藍骰子是 6。直接把 1/6 加 1/6 得 1/3 是錯的，因為兩顆都是 6 的那個世界被算了兩次，要減掉一次。照公式算是 1/6 + 1/6 − 1/36 = 11/36，這個結果是本文算的，講者只說明了為什麼要減。

邊際化（marginalization）（42:43）：手上有聯合機率，想要其中一個變數自己的機率。b 只有發生與不發生兩種情況，兩種情況互斥，所以：

P(a) = P(a, b) + P(a, ¬b)

變數有很多個可能值時，改成對另一個變數的所有可能值加總：

P(X = xᵢ) = Σⱼ P(X = xᵢ, Y = yⱼ)

用上面那張表：P(多雲) = P(多雲, 下雨) + P(多雲, 不下雨) = 0.08 + 0.32 = 0.4。

條件化（conditioning）（47:25）：和邊際化是同一件事，只是手上有的是條件機率：

P(a) = P(a | b) P(b) + P(a | ¬b) P(¬b)
P(X = xᵢ) = Σⱼ P(X = xᵢ | Y = yⱼ) P(Y = yⱼ)

正規化與邊際化這兩個手法，後面的列舉推論會一起用上。

自我檢查｜先寫下答案，再展開。 用講課那張聯合機率表，算出「已知早上多雲」時，下午下雨與不下雨的分佈。答案和上一節用貝氏法則算的一樣嗎？

貝氏網路：用箭頭表示誰影響誰

錄影 49:42–1:03:19

數學工具到這裡齊了，講者開始把它們放進電腦能用的模型。第一個是貝氏網路（Bayesian network）：一張有向圖，用來表示隨機變數之間的相依關係。

• 每個節點是一個隨機變數。
• 從 X 指向 Y 的箭頭代表 X 是 Y 的父節點（parent）。
• 每個節點 X 存一個機率分佈 P(X | Parents(X))，也就是給定父節點的值之後，X 的分佈。

可以把父節點想成原因，節點本身是觀察到的結果。

講課的例子（51:32）：我要搭火車去外地赴約。四個隨機變數：

取值沿用講課程式裡的英文字串：none、light、heavy 是沒下雨、小雨、大雨；on time、delayed 是準點、誤點；attend、miss 是赴約、沒赴約。

箭頭有四條：Rain → Maintenance、Rain → Train、Maintenance → Train、Train → Appointment。雨越大，維修的人越可能改天再修，所以 Rain 影響 Maintenance；雨和維修都會讓火車更容易誤點；能不能赴約只看火車。

接著講者一個節點一個節點看它的分佈（54:20）。下面四張表的完整數字取自講課公開的原始碼 src2/bayesnet/model.py；粗體是講者在錄影裡口頭唸過的格子，其中幾格是後面講程式與取樣時才唸的。

Rain 沒有父節點，存的是無條件分佈：

Maintenance 給定 Rain：

Train 給定 Rain 與 Maintenance：

Appointment 給定 Train：

每一列加起來都是 1，因為每一列是「父節點取這組值時」的一個完整分佈。

講者特別說明 Appointment 為什麼只有 Train 一個父節點。軌道維修當然會影響能不能赴約，但那是透過火車誤點間接影響的。網路裡只畫直接的關係：一旦知道火車準點還是誤點，再知道有沒有維修、雨多大，都不會多給任何資訊。

有了這些表就能算聯合機率（1:00:12）。講者由淺到深走了四步：

• P(light)：Rain 沒有父節點，直接查表。
• P(light, no) = P(light) × P(no | light)。Maintenance 的父節點是 Rain，所以要用給定小雨的那一列。
• P(light, no, delayed) = P(light) × P(no | light) × P(delayed | light, no)。
• P(light, no, delayed, miss) = P(light) × P(no | light) × P(delayed | light, no) × P(miss | delayed)。最後一項只看 Train，不必再看雨和維修。

規則是每個節點貢獻一個數字，這個數字是「給定它的父節點」的條件機率，全部相乘。講者只講到式子；把上面的表代進去，最後一個是 0.2 × 0.8 × 0.3 × 0.4 = 0.0192（本文算的）。

專案 Heredity 的 joint_probability 就是在做這種乘法：每個人的基因數與性狀各貢獻一個條件機率，全部乘起來。這句對照是本文加的，講課沒有提到專案。

自我檢查｜先寫下答案，再展開。 用上面四張表，算出「沒下雨、有維修、火車準點、順利赴約」的聯合機率。如果把最後一項寫成 P(attend | none, yes, on time) 去查表，會遇到什麼問題？

推論：從證據算出其他變數的分佈

錄影 1:03:19–1:19:39

上週的推論是從已知為真的句子推出其他為真的句子。這一週的推論改成：從已知的證據，算出其他變數取各個值的機率。講者把推論問題拆成三種變數（1:04:17）：

• 查詢變數（query）X：想知道分佈的那個變數。
• 證據變數（evidence）E：已經觀察到值的變數，觀察到的值記作 e。
• 隱藏變數（hidden variable）Y：既不是查詢也不是證據的其他變數。

目標是算出 P(X | e)。

他用的例子是（1:06:18）：已知小雨、沒有軌道維修，能不能赴約的分佈是多少？查詢變數是 Appointment，證據是 Rain = light 與 Maintenance = no，隱藏變數是 Train。推導用到前面的兩個手法：

1. 條件分佈與聯合機率成正比：P(Appointment | light, no) = α P(Appointment, light, no)。
2. 右邊缺了 Train，用邊際化把它的兩個值都加進來：α [P(Appointment, light, no, on time) + P(Appointment, light, no, delayed)]。

括號裡的每一項都是四個變數的聯合機率，上一節已經會算。最後正規化，讓結果加起來是 1。這個方法叫列舉推論（inference by enumeration），一般式是：

P(X | e) = α P(X, e) = α Σ_y P(X, e, y)

y 跑遍隱藏變數所有可能的取值。

講者只講到式子。把上一節的表代進去是這樣（以下數字是本文算的）：

0.1296 與 0.0304 加起來是 0.16，各除以 0.16，得到 ⟨0.81, 0.19⟩：小雨、沒維修時，有 81% 的機率能赴約。

這些計算人做起來很煩，講者接著示範交給函式庫（1:11:26）。他用的是 Python 的 pomegranate，並強調用哪一個函式庫不重要，重點是只要描述網路的結構與每個節點的分佈，函式庫就能替你算。model.py 的做法和上一節一樣：替四個變數各建一個節點，Rain 用無條件分佈，其餘三個用條件機率表，再照箭頭加上四條邊。

likelihood.py 算聯合機率（1:14:50）：

• 沒下雨、沒維修、火車準點、順利赴約：約 0.34。
• 沒下雨、沒維修、火車準點、卻沒赴約：約 0.04。

用表手算是 0.7 × 0.6 × 0.9 × 0.9 = 0.3402 與 0.7 × 0.6 × 0.9 × 0.1 = 0.0378（本文算的），和程式的輸出相符。

inference.py 做推論（1:16:51）。證據只有「火車誤點」，程式回報其他三個變數的分佈。講者唸出的結果是：沒下雨約 46%、小雨 31%、大雨 23%。接著他多加一個證據「大雨」，重跑一次：

• 沒有軌道維修的機率從 64% 變成 88%。大雨天比較不會維修。
• 赴約的分佈沒有變，仍然是 attend 0.6、miss 0.4。

第二點正好驗證上一節的說法：Appointment 只取決於 Train，已經知道火車誤點，再知道雨多大也不會改變它。

本文補充：照這一節的方法用表做列舉推論，給定火車誤點得到的是沒下雨 46.0%、小雨 30.0%、大雨 23.9%，沒有維修 63.4%（本文算的），和講者唸的 31%、23%、64% 差一點。這不是講者唸錯。pomegranate v0.14.8 的原始碼說明寫著，predict_proba 用的是 loopy belief propagation，一種在某些圖形結構上才精確的近似演算法；這個網路裡 Rain 同時直接指向 Train、又經過 Maintenance 指向 Train，形成一個迴路。本文自己寫了這個演算法跑同一張網路，得到 45.83%、30.69%、23.48% 與 64.32%，四捨五入到整數後和講者唸的數字相符。加上「大雨」這個證據之後迴路被切斷，近似值與列舉的結果都是 88.2%，所以 88% 兩邊一致。講課沒有提這件事；講課當時（2020 年）用的 pomegranate 版本本文沒有查，也沒有安裝函式庫實跑，依據是 v0.14.8 的說明與自己重算的數字。照表手算對不上講者的數字時，以手算的為準。

最後是列舉推論的限制。它要把隱藏變數的所有取值都走一遍，變數一多、每個變數的可能值一多，計算量就大到不實際。講者提到可以避免重複計算同樣的機率來加速，但沒有展開；他轉向另一條路：不求精確的機率，只求夠接近。

自我檢查｜先寫下答案，再展開。 用上一節的表，算出「大雨、有維修」時能不能赴約的分佈。查詢、證據、隱藏變數各是哪一個？

近似推論：取樣、拒絕取樣與概似加權

錄影 1:19:39–1:32:33

取樣（sampling）的做法是照著網路的機率分佈，替每個變數隨機抽一個值，抽很多次，再用樣本的比例當作機率的估計（1:20:57）。

抽一個樣本要從沒有父節點的節點開始，順著箭頭往下。講者示範了一次：

1. Rain：照 0.7、0.2、0.1 抽，假設抽到 none。
2. Maintenance：已經抽到 Rain = none，所以只看那一列，yes 的機率是 0.4。假設抽到 yes。
3. Train：看 Rain = none、Maintenance = yes 那一列，on time 的機率是 0.8。假設抽到 on time。
4. Appointment：看 Train = on time 那一列，attend 的機率是 0.9。假設抽到 attend。

這樣就得到一個樣本。重複幾千、幾萬次，得到一大堆樣本。

要估計 P(Train = on time)，數樣本就好。講者畫面上有 8 個樣本，其中 6 個火車準點，估計值是 6/8。8 個樣本當然不夠準，樣本越多越接近真正的機率。用上一節的表精確算出來是 0.787（本文算的），8 個樣本給的 0.75 已經不遠。

如果要的是條件機率呢（1:24:34）？例如已知火車準點，小雨的機率。做法是把不符合證據的樣本丟掉：8 個樣本裡有 2 個火車誤點，剔除；剩下 6 個裡有 2 個是小雨，估計值是 2/6。這叫拒絕取樣（rejection sampling）。

sample.py 實作了這個方法。generate_sample 依序走過每個節點，有父節點的就依父節點已抽到的值來抽。主程式抽 10,000 個樣本，要算的是已知火車誤點時 Appointment 的分佈，所以只留下火車誤點的樣本，記下它們的 Appointment 值，最後用 Counter 計數。講者跑了兩次：

兩次的數字接近但不相同，因為過程是隨機的。換算成比例，第一次是 1,251 ÷ 2,107 ≈ 0.594，和上一節精確推論的 0.6 很接近（比例是本文算的）。

留意第一次只留下 1,251 + 856 = 2,107 個樣本，其餘將近八千個都丟掉了（這是本文算的）。講者接著談拒絕取樣的問題：證據越少見，丟掉的樣本越多。如果證據一千次才出現一次，一千個樣本只有一個能用，而每個樣本都要花力氣產生。

概似加權（likelihood weighting）用來避免丟樣本（1:29:30）。步驟是：

1. 先把證據變數的值固定住，不抽它們。
2. 其餘變數照原本的方式抽。
3. 替每個樣本算一個權重：在這個樣本裡，證據出現的機率有多高。

講者用同一個問題示範：已知火車準點，小雨的機率。Train 固定為 on time。抽 Rain，假設抽到 light；抽 Maintenance，假設抽到 yes；Train 是證據，跳過；再抽 Appointment。這個樣本的權重是「小雨、有維修時火車準點的機率」，查表是 0.6。

原本每個樣本的權重都是 1；現在證據在這個樣本裡越可能出現，這個樣本算的份量越重。講者提到還有別的取樣方法，目的都一樣，沒有細講。

權重怎麼變成估計值，講者只說把每個樣本乘上它的權重。下面是本文自擬的算例：原本是數樣本的個數再相除，現在改成把權重加起來再相除。假設只抽了兩個樣本，甲是小雨、有維修（權重 0.6），乙是沒下雨、有維修（權重 0.8，查表 P(on time | none, yes)）。小雨的樣本只有甲，所以 P(小雨 | 準點) 的估計是 0.6 ÷ (0.6 + 0.8) ≈ 0.43。用表精確算出來是 0.173（本文算的），差很多，因為兩個樣本遠遠不夠；樣本多了，加權的比例才會靠近精確值。

自我檢查｜先寫下答案，再展開。 （一）sample.py 抽 10,000 個樣本，講課第一次留下 2,107 個。如果證據的機率是千分之一，同樣抽 10,000 個，預期留下幾個？（二）用概似加權估計「已知火車準點」時的分佈，某個樣本抽到 Rain = none、Maintenance = yes，它的權重是多少？

馬可夫鏈：隨時間變化的狀態

錄影 1:32:33–1:39:49

前面每個變數描述的都是單一時間點的情況。但像天氣這種東西，我們關心的是它一天一天怎麼變：明天下雨的機率、後天下雨的機率。講者的做法是每個時間點各設一個隨機變數，Xₜ 代表第 t 天的天氣，X₀ 是第 0 天，X₁ 是第 1 天，依此類推。

問題是資料會多到處理不了。如果要用過去 365 天的天氣預測明天，那就是給定 365 個證據的條件分佈，沒有人知道那張表長什麼樣。講者說這時候要做簡化的假設，即使假設不完全正確，夠接近就很有用。

這個假設是馬可夫假設（Markov assumption）（1:34:29）：目前的狀態只取決於前面固定幾個狀態。最常用的是只看前一個：今天的天氣只用昨天的天氣來預測。一串滿足馬可夫假設的隨機變數叫馬可夫鏈（Markov chain）。

講課的例子只有晴與雨兩種天氣。描述「今天怎樣，明天就有多大機率怎樣」的表叫轉移模型（transition model）：

天氣傾向持續：今天晴，明天多半還是晴；今天雨，明天多半還是雨。用這張表可以一天一天抽樣，得到一條鏈，例如晴、晴、雨、雨、雨。也可以問機率的問題，例如今天下雨時明天下雨的機率，或是某一串天氣出現的機率。講者提了這兩種問題，沒有算。

程式示範在 chain/model.py（1:37:53）。馬可夫鏈需要一個起始分佈，講者設成晴 0.5、雨 0.5，再把上面那張轉移模型寫進去，然後從這條鏈抽 50 個狀態。輸出的樣子和轉移模型一致：晴天連著幾天，接著一長串雨天，再變回晴天。

專案 PageRank 把隨機點連結的瀏覽者寫成一條馬可夫鏈，每個網頁是一個狀態，轉移模型由頁面上的連結決定。這是專案規格的說法，講課沒有提到。

自我檢查｜先寫下答案，再展開。 用講課的起始分佈（晴 0.5、雨 0.5）與轉移模型，「晴、晴、雨、雨、雨」這五天的天氣序列，機率是多少？

隱藏式馬可夫模型：只看得到觀察

錄影 1:39:49–1:54:29

馬可夫鏈假設我們知道每一天的狀態。實際上 AI 常常不知道世界真正的狀態，只有感測器給它的觀察，而觀察和狀態有關。講者舉了四組：

觀察會帶雜訊，所以沒辦法從觀察確定狀態，只能推測。

最後一組是這一節的例子。想像 AI 在一棟建築物裡，只有一台室內攝影機，看不到外面，只看得到員工有沒有帶傘進來。它要從帶傘與否推測外面是晴是雨。

描述這種情況的模型是隱藏式馬可夫模型（hidden Markov model，以下寫 HMM）（1:44:18）：一個馬可夫模型，狀態本身是隱藏的，每個狀態會產生一個看得到的觀察。它需要兩張表。一張是和上一節相同的轉移模型。另一張是感測模型（sensor model），也叫 emission probabilities，描述每個狀態下各種觀察出現的機率：

晴天也有人謹慎帶傘，雨天也有人沒料到所以沒帶。這四個數字是講者在後面講程式時唸的。

HMM 用的第二個假設是 sensor Markov assumption（1:45:53）：觀察只取決於當下的狀態。今天有沒有人帶傘只看今天的天氣。講者自己說這個假設不一定成立，帶不帶傘也可能受昨天天氣影響，但做了這個簡化之後比較好算，結果通常仍然不錯。

整個模型有兩層：上層是 X₀、X₁、X₂ 這串隱藏狀態，由轉移模型串起來；下層是每個狀態產生的觀察 E₀、E₁、E₂。

在這個模型上常見的任務有四種（1:48:12），講者說明了各自在問什麼，並表明不會進入它們的數學：

語音辨識就是最後一種：從一串音訊波形，找出最可能的那一串字。

程式示範在 hmm 資料夾（1:50:03）。model.py 寫入兩個狀態的感測模型、轉移模型與 50/50 的起始機率。sequence.py 給模型一串觀察，請它預測每一天的天氣。講者唸的觀察是：帶傘、帶傘、沒帶傘、帶傘、帶傘，中間略過，最後是沒帶傘、沒帶傘。

他關心的是第三天。前後都有人帶傘，只有那一天沒有。是雨一直下，只是那天大家剛好沒帶？還是天氣從雨變晴、隔天又變回雨？後者聽起來不太可能，但確實會發生。模型的回答是：雨、雨，然後晴了一天，再回到雨。講者補充，如果雨下得更久，或機率稍有不同，答案也可能是一路下雨、只是那天沒人帶傘。

講課公開的 sequence.py 裡完整的觀察是九天：帶傘、帶傘、沒帶傘、帶傘四天、沒帶傘兩天。本文用這串觀察和上面兩張表手算，逐日算每一天各自最可能的狀態，第三天晴的機率是 0.627，和講者看到的輸出一致；如果改成找機率最高的一整串狀態，第三天會是雨（九天全部 512 種序列裡，最高的是連七天雨再兩天晴）。兩種問法在這一天給了不同的答案。講者口頭把這個示範叫作 most likely explanation，但 pomegranate v0.14.8 的 predict 預設參數是 algorithm='map'，算的是逐日最可能的狀態，要另外指定 viterbi 才是找整串序列；輸出對得上逐日的做法，原因在這裡。講課沒有談這個差別，講課當時用的版本本文沒有查，這一段是本文的補充。

收尾時講者把這一週串起來：機率讓 AI 用數字描述哪些事比較可能；貝氏網路、馬可夫鏈與 HMM 是三種現成的模型；只要能把問題寫成其中一種，就能用已經存在的演算法與函式庫來推論。

自我檢查｜先寫下答案，再展開。 用講課的起始機率（晴 0.5、雨 0.5）與感測模型。第一天看到有人帶傘，這一天是雨天的機率是多少？這屬於四種任務的哪一種？

專案 2A：Heredity —— 用貝氏網路推斷基因與性狀

這一節先講做法與檢查方式；完整的參考實作摺疊在最後，預設不顯示。

任務

每個人身上某個基因可能有 0、1 或 2 份，基因份數會影響是否表現出某個性狀（專案規格用的例子是 GJB2 基因與聽力損傷）。基因份數看不到，性狀看得到。給定一個家族每個人的父母是誰、有沒有表現性狀（可能未知），算出每個人基因份數的分佈與表現性狀的分佈。

輸入是 CSV，欄位為 name, mother, father, trait，trait 是 1、0 或空白（未知）。要實作三個函式：joint_probability、update、normalize。

這個模型是一個貝氏網路：每個人有 Gene 與 Trait 兩個節點，Gene 指向自己的 Trait，父母的 Gene 指向孩子的 Gene。遺傳規則依專案規格：

• 孩子從父、母各得到一份基因。
• 父或母有 2 份時一定把這個基因傳下去，有 0 份時不會傳，有 1 份時以 0.5 的機率傳。
• 傳下去之後有 PROBS["mutation"]（0.01）的機率突變：原本是這個基因的變成不是，原本不是的變成是。

官方已提供的程式

官方的 heredity.py 已經寫好 PROBS、main、load_data、powerset；joint_probability、update、normalize 三個函式在官方檔案裡只有說明文字與 raise NotImplementedError，要自己寫。

# heredity.py（官方提供，節錄）
PROBS = {

    # Unconditional probabilities for having gene
    "gene": {
        2: 0.01,
        1: 0.03,
        0: 0.96
    },

    "trait": {

        # Probability of trait given two copies of gene
        2: {
            True: 0.65,
            False: 0.35
        },

        # Probability of trait given one copy of gene
        1: {
            True: 0.56,
            False: 0.44
        },

        # Probability of trait given no gene
        0: {
            True: 0.01,
            False: 0.99
        }
    },

    # Mutation probability
    "mutation": 0.01
}

load_data 把 CSV 讀成字典，沒有另外定義類別。data/family0.csv 讀進來是：

{
    'Harry': {'name': 'Harry', 'mother': 'Lily', 'father': 'James', 'trait': None},
    'James': {'name': 'James', 'mother': None, 'father': None, 'trait': True},
    'Lily': {'name': 'Lily', 'mother': None, 'father': None, 'trait': False}
}

官方的 main 做的事是列舉推論。它先對「誰有性狀」的每一種組合（for have_trait in powerset(names)）檢查是否與 CSV 裡已知的性狀矛盾，矛盾就 continue 跳過，接著是這一段：

# heredity.py 的 main（官方提供，節錄）
        # Loop over all sets of people who might have the gene
        for one_gene in powerset(names):
            for two_genes in powerset(names - one_gene):

                # Update probabilities with new joint probability
                p = joint_probability(people, one_gene, two_genes, have_trait)
                update(probabilities, one_gene, two_genes, have_trait, p)

    # Ensure probabilities sum to 1
    normalize(probabilities)

也就是把「誰有性狀、誰有一份基因、誰有兩份基因」的所有組合走一遍，留下符合證據的，對每個組合算聯合機率，累加到每個人對應的格子，最後正規化。這正是導讀「推論」一節的式子 α Σ_y P(X, e, y)（錄影 1:06:18）：沒有取樣，也沒有權重。

解題思路

三個函式各對應列舉推論的一步。

joint_probability 算一組假設的聯合機率。 做法是導讀「貝氏網路」一節的乘法（錄影 1:00:12）：每個節點貢獻一個「給定父節點」的條件機率，全部相乘。這裡每個人有兩個節點，所以每個人貢獻兩個數字。

• Trait 節點的父節點是自己的 Gene。知道這個人在這組假設裡有幾份基因、有沒有性狀，直接查 PROBS["trait"]。
• Gene 節點要分兩種人。資料裡沒有父母的人，Gene 沒有父節點，查 PROBS["gene"] 的無條件分佈。有父母的人，Gene 的父節點是父、母的 Gene，機率要從遺傳規則算。

從遺傳規則算的時候，先分別問「母親把這個基因傳下來的機率」與「父親把這個基因傳下來的機率」，兩者只看那位家長在這組假設裡的份數：

• 有 2 份的家長一定傳出這個基因，只有突變會讓它變不見，機率 0.99。
• 有 0 份的家長只有靠突變才會傳出這個基因，機率 0.01。
• 有 1 份的家長一半機率傳出這個基因（之後 0.99 不突變）、一半傳出另一個（之後 0.01 突變成這個基因），0.5 × 0.99 + 0.5 × 0.01 = 0.5。

有了這兩個數字，孩子的份數就是三種情況：2 份是兩邊都傳；0 份是兩邊都沒傳；1 份是「母傳、父沒傳」或「父傳、母沒傳」，兩種情況互斥，機率相加。

update 把這個聯合機率記到每個人頭上。 每個人在這組假設裡有確定的基因份數與性狀，把 p 加到他那兩個分佈裡對應的格子。這一步是邊際化：同一格會被很多組假設加到。

normalize 是最後的 α。 累加完的數字加起來不是 1，每個人的每個分佈各自除以自己的總和。

虛擬碼

聯合機率（一組假設：誰有 1 份、誰有 2 份、誰有性狀）
    結果 ← 1
    對家族裡的每個人：
        份數 ← 這個人在這組假設裡的基因份數（0、1 或 2）
        如果資料裡沒有他的父母：
            基因機率 ← 族群裡有這麼多份的無條件機率
        否則：
            母傳 ← 母親把這個基因傳下來的機率（看母親在這組假設裡的份數）
            父傳 ← 父親把這個基因傳下來的機率（看父親在這組假設裡的份數）
            份數是 2：基因機率 ← 兩邊都傳
            份數是 0：基因機率 ← 兩邊都沒傳
            份數是 1：基因機率 ← 「母傳而父沒傳」加上「父傳而母沒傳」
        性狀機率 ← 給定這個份數，他有（或沒有）性狀的機率
        結果 ← 結果 × 基因機率 × 性狀機率
    回傳 結果

累加（一組假設，與它的聯合機率 p）
    對每個人：
        在他的基因分佈裡，對應這組假設份數的那一格加上 p
        在他的性狀分佈裡，對應這組假設有無性狀的那一格加上 p

正規化
    對每個人的每一個分佈：
        每一格除以這個分佈的總和

容易出錯的地方

以下幾條的數字是本站 2026-10-13 把寫錯的版本放進官方檔案實跑得到的。

• 把它寫成取樣。 官方 main 已經把所有組合列舉完，三個函式裡不需要亂數。本文舊版就犯了這個錯，寫成概似加權取樣。察覺方式：同一個 CSV 跑兩次，輸出應該逐位相同；每次不一樣就是走錯方向。
• 照物件的寫法取父母。 people 是字典的字典，父母要用 people[name]["mother"] 取，取出來的是名字字串或 None。寫成取屬性的形式會直接丟 AttributeError。
• 1 份基因的情況只算了一半。 「母傳、父沒傳」與「父傳、母沒傳」要相加。只算「父傳、母沒傳」這一種時，規格頁那個例子會回傳 0.0026640529344，和正確的 0.0026643247488 只差在第七位小數，眼睛掃過去很容易以為對了（只算另一種「母傳、父沒傳」會得到 0.00000027，一眼就看得出錯）。另一種錯法是把母傳、父傳的機率直接相乘，那是 2 份的算式被拿來算 1 份，會得到 0.0000269，差一百倍。
• 有 1 份的家長傳出的機率寫成 0.5 × 0.99。 漏掉「傳出另一個、再突變回來」那一半，會得到 0.495。規格頁的例子測不出來（那個例子裡沒有 1 份的家長），要看完整輸出：family0.csv 的 Harry 會變成 0.0091／0.4532／0.5377，正確的是 0.0092／0.4557／0.5351。
• 正規化的範圍弄錯。 要對每個人的基因分佈、性狀分佈各自正規化。把所有人加在一起除，每個分佈的總和就不是 1。

怎麼檢查自己寫的對不對

規格頁的例子。 joint_probability(people, {"Harry"}, {"James"}, {"James"})，也就是 Lily 0 份且無性狀、James 2 份且有性狀、Harry 1 份且無性狀，應回傳 0.0026643247488。規格頁給了手算過程：

• Lily：0.96 × 0.99 = 0.9504
• James：0.01 × 0.65 = 0.0065
• Harry 有 1 份：從母親得到而父親沒有，或父親得到而母親沒有。母親 0 份，傳出的機率 0.01；父親 2 份，傳出的機率 0.99。0.01 × 0.01 + 0.99 × 0.99 = 0.9802。再乘上 1 份而無性狀的 0.44，得 0.431288。
• 全部相乘：0.9504 × 0.0065 × 0.431288 = 0.0026643247488

比對時要看到最後一位，理由見上一節。

完整輸出。 規格頁列了 family0.csv 的預期輸出：

wget https://cdn.cs50.net/ai/2023/x/projects/2/heredity.zip
unzip heredity.zip && cd heredity

python heredity.py data/family0.csv
# 規格頁列的預期輸出：
# Harry: Gene 2: 0.0092, 1: 0.4557, 0: 0.5351；Trait True: 0.2665, False: 0.7335
# James: Gene 2: 0.1976, 1: 0.5106, 0: 0.2918；Trait True: 1.0000, False: 0.0000
# Lily:  Gene 2: 0.0036, 1: 0.0136, 0: 0.9827；Trait True: 0.0000, False: 1.0000

不看答案也能做的檢查。

• 每個人的 Gene 三個數字、Trait 兩個數字，各自加起來是 1（四位小數會有尾數誤差）。
• CSV 裡性狀已知的人，Trait 分佈應該是 1.0000 與 0.0000：James 有性狀，Lily 沒有。
• 同一個檔案跑兩次，輸出相同。
• family1.csv、family2.csv 也要跑得完。

官方工具。

check50 ai50/projects/2024/x/heredity
style50 heredity.py

完整參考實作

# heredity.py：填入三個函式，另加兩個輔助函式
def joint_probability(people, one_gene, two_genes, have_trait):
    probability = 1
    for person in people:
        genes = gene_count(person, one_gene, two_genes)
        mother = people[person]["mother"]
        father = people[person]["father"]

        if mother is None and father is None:
            # 資料裡沒有父母：用族群的無條件分佈
            p_gene = PROBS["gene"][genes]
        else:
            # 有父母：先算父、母各自把基因傳下來的機率
            from_mother = pass_probability(gene_count(mother, one_gene, two_genes))
            from_father = pass_probability(gene_count(father, one_gene, two_genes))
            if genes == 2:
                p_gene = from_mother * from_father
            elif genes == 1:
                p_gene = (from_mother * (1 - from_father)
                          + (1 - from_mother) * from_father)
            else:
                p_gene = (1 - from_mother) * (1 - from_father)

        p_trait = PROBS["trait"][genes][person in have_trait]
        probability *= p_gene * p_trait
    return probability


def gene_count(person, one_gene, two_genes):
    """這個人在目前這組假設裡有幾份基因。"""
    if person in two_genes:
        return 2
    if person in one_gene:
        return 1
    return 0


def pass_probability(genes):
    """有 genes 份基因的父或母，把這個基因傳給孩子的機率。"""
    if genes == 2:
        return 1 - PROBS["mutation"]
    if genes == 1:
        return 0.5
    return PROBS["mutation"]


def update(probabilities, one_gene, two_genes, have_trait, p):
    for person in probabilities:
        genes = gene_count(person, one_gene, two_genes)
        probabilities[person]["gene"][genes] += p
        probabilities[person]["trait"][person in have_trait] += p


def normalize(probabilities):
    for person in probabilities:
        for field in probabilities[person]:
            total = sum(probabilities[person][field].values())
            for value in probabilities[person][field]:
                probabilities[person][field][value] /= total

專案 2B：PageRank —— 取樣與迭代兩種演算法

這一節先講做法與檢查方式；完整的參考實作摺疊在最後，預設不顯示。

任務

替一組互相連結的網頁算出每一頁的 PageRank，也就是一個隨機點連結的瀏覽者在任一時刻停在這一頁的機率。專案規格把這個瀏覽者描述成一條馬可夫鏈：每一頁是一個狀態，下一步去哪裡由轉移模型決定。為了避免瀏覽者困在互相連結的幾頁裡，加入 damping factor d（預設 0.85）：以機率 d 從目前頁面的連結裡隨機選一個，以機率 1 − d 從所有頁面裡隨機選一個（包含目前這一頁）。

要實作三個函式：

1. transition_model(corpus, page, damping_factor)：回傳從 page 出發，下一步到每一頁的機率分佈。
2. sample_pagerank(corpus, damping_factor, n)：照轉移模型抽 n 個樣本，用各頁出現的比例當估計。
3. iterate_pagerank(corpus, damping_factor)：反覆套用下面的公式，直到每一頁的變動都不超過 0.001。

PR(p) = (1 − d) / N + d × Σᵢ PR(i) / NumLinks(i)

N 是頁面總數，i 跑遍所有連到 p 的頁面，NumLinks(i) 是頁面 i 上的連結數。規格另外規定：沒有任何連結的頁面，要當成連到所有頁面（包含自己）。

官方已提供的程式

官方的 pagerank.py 已經寫好 main 與 crawl；transition_model、sample_pagerank、iterate_pagerank 三個函式只有說明文字與 raise NotImplementedError，要自己寫。

# pagerank.py（官方提供，節錄）
DAMPING = 0.85
SAMPLES = 10000


def main():
    if len(sys.argv) != 2:
        sys.exit("Usage: python pagerank.py corpus")
    corpus = crawl(sys.argv[1])
    ranks = sample_pagerank(corpus, DAMPING, SAMPLES)
    print(f"PageRank Results from Sampling (n = {SAMPLES})")
    for page in sorted(ranks):
        print(f"  {page}: {ranks[page]:.4f}")
    ranks = iterate_pagerank(corpus, DAMPING)
    print(f"PageRank Results from Iteration")
    for page in sorted(ranks):
        print(f"  {page}: {ranks[page]:.4f}")

crawl 回傳一個字典，鍵是頁面檔名，值是這一頁連到的頁面集合。corpus0 讀進來是：

{
    "1.html": {"2.html"},
    "2.html": {"1.html", "3.html"},
    "3.html": {"2.html", "4.html"},
    "4.html": {"2.html"}
}

三個要實作的函式都沒有預設參數，main 會把 DAMPING 與 SAMPLES 傳進去。檔案開頭已經匯入 random。

解題思路

transition_model 就是導讀「馬可夫鏈」一節的轉移模型裡的一列（錄影 1:34:29）：給定現在在哪一頁，下一步到每一頁的機率。機率有兩個來源，分開想比較不會錯。1 − d 那一份平分給所有頁面，每頁拿到 (1 − d) / N。d 那一份平分給目前頁面上的連結。被連到的頁面兩份都拿。目前頁面沒有任何連結時，照規格當成它連到所有頁面，d 那一份也平分給全部。

sample_pagerank 是從這條馬可夫鏈一個接一個抽狀態，和講者從天氣的鏈抽 50 天是同一件事，估計機率的方式則是導讀「近似推論」一節的數樣本（錄影 1:20:57）。第一個樣本從所有頁面隨機選；之後每一個樣本，都用前一個樣本所在頁面的轉移模型來抽。抽滿 n 個，各頁出現的次數除以 n。

iterate_pagerank 不抽樣，直接解公式。 每一頁先給 1 / N。每一輪拿上一輪的整組數值，照公式替每一頁算出新值：對每一個連到它的頁面，取那一頁上一輪的值除以那一頁的連結數，全部加起來乘 d，再加上 (1 − d) / N。一輪算完後，如果沒有任何一頁的變動超過 0.001 就停，否則用新的一組再算一輪。

虛擬碼

轉移模型（目前在哪一頁）
    每一頁先拿到 (1 − d) / N
    連結 ← 目前頁面上的連結；如果一個都沒有，改成所有頁面
    對連結裡的每一頁：再加上 d / 連結的數量
    回傳 每一頁對應的機率（每一頁都要有）

取樣（抽 n 個）
    次數 ← 每一頁都是 0
    目前 ← 從所有頁面隨機選一頁；它算第一個樣本
    重複到一共有 n 個樣本：
        依「目前」的轉移模型，按機率抽出下一頁
        目前 ← 下一頁；它的次數加 1
    回傳 每一頁的次數 ÷ n

迭代
    舊 ← 每一頁都是 1 / N
    重複：
        對每一頁 p：
            總和 ← 每個連到 p 的頁面，上一輪的值 ÷ 它的連結數，全部加起來
                   （沒有連結的頁面當成連到每一頁，包含它自己，所以每一頁都要算到它）
            新[p] ← (1 − d) / N + d × 總和
        如果每一頁的 |新 − 舊| 都不超過 0.001：回傳 新
        舊 ← 新

容易出錯的地方

以下幾條的數字是本站 2026-10-13 把寫錯的版本放進官方檔案實跑得到的；「收斂值」指另外用同一個公式跑 5,000 輪的結果。

• 邊算邊覆寫。 迭代的每一輪要用上一輪的整組數值，算完才整組換掉。直接在同一個字典上改，後面的頁面會用到這一輪的新值。現象：所有頁面的總和不是 1，與收斂值的差距超過規格要求的 0.001。本站那次實跑（頁面照 crawl 回傳的順序）三個 corpus 的總和是 0.9942、0.9905、0.9916，與收斂值最多差 0.0025；結果會隨頁面順序改變，改成依檔名排序再跑，總和變成 1.0042、1.0039、1.0083。crawl 回傳的順序因作業系統而異，所以你看到的數字可能不同，判斷標準是總和不等於 1。
• 沒有連結的頁面沒處理。 corpus2 的 recursion.html 沒有對外連結。迭代時少了「當成連到每一頁」那一步，corpus2 所有頁面的總和會掉到 0.7134。corpus0、corpus1 沒有這種頁面，只跑這兩個看不出來。轉移模型同樣要處理，否則從這種頁面出發的機率總和不會是 1（照寫法不同，也可能在平分 d 那一步除以零）。
• 收斂時回傳哪一組，這一條不是錯誤，是說明。 判定收斂時手上有兩組數值：前一輪的，與剛算出的。兩種回傳法與收斂值的差距都在 0.001 以內。規格頁列的 corpus0 數字（0.2202、0.4289、0.2202、0.1307）和「回傳前一輪」的輸出逐位相同；本站的參考實作回傳剛算出的那一組，所以第四位小數不同。回傳新的一組比較接近收斂值：corpus1 上是 0.0003 對 0.00096。check50 接受哪一種，本站沒有驗證。
• 樣本數多一個或少一個。 第一個隨機選的頁面也算一個樣本。它不計入、或迴圈多跑一次，次數的總和就不是 n，回傳的比例加起來不會剛好是 1。
• 回傳的字典缺頁。 規格頁特別提醒很多人因為字典建得不對而過不了自動評分。三個函式回傳的字典都要有 corpus 裡的每一頁；轉移模型裡沒被連到的頁面機率是 (1 − d) / N，不是不出現。

怎麼檢查自己寫的對不對

規格頁的例子。 corpus 是 {"1.html": {"2.html", "3.html"}, "2.html": {"3.html"}, "3.html": {"2.html"}}、目前在 1.html、damping factor 0.85 時，transition_model 應回傳 {"1.html": 0.05, "2.html": 0.475, "3.html": 0.475}。0.85 平分給兩個連結各 0.425，另外 0.15 平分給三頁各 0.05。

可以手算的小案例（本文自擬）。corpus 只有兩頁，a 沒有連結，b 連到 a，damping factor 0.85：

• 從 a 出發：a 沒有連結，當成連到兩頁，結果是 a 0.5、b 0.5。
• 從 b 出發：兩頁各先拿 0.15 ÷ 2 = 0.075，a 再拿 0.85，結果是 a 0.925、b 0.075。

完整輸出。

wget https://cdn.cs50.net/ai/2023/x/projects/2/pagerank.zip
unzip pagerank.zip && cd pagerank

python pagerank.py corpus0

規格頁列的 corpus0 迭代結果是 0.2202、0.4289、0.2202、0.1307，取樣結果是 0.2223、0.4303、0.2145、0.1329。該看到的範圍：

• 迭代結果每一頁與規格頁的數字差距不超過 0.001。你的輸出與規格頁逐位相同、或差在第四位小數，都是正常的：規格頁的數字和「收斂時回傳前一輪」的輸出相同；回傳剛算出的那一組（本站的參考實作）是 0.2198、0.4294、0.2198、0.1311；收斂值是 0.2199、0.4292、0.2199、0.1310。
• 取樣結果每次執行都不同。本站用參考實作在三個 corpus 各跑 10 次（一萬個樣本），同一頁取樣與迭代的差距中位數是 0.006，最大 0.015；獨立審稿者另外跑的 30 次，中位數 0.005、最大 0.020。最大值每批都會浮動，看到比這些大一點的數字不必緊張。本站的判斷是差到 0.03 以上就該回頭查；規格沒有訂這個數字。
• 兩種方法回傳的數值各自加起來都是 1。三個 corpus 都要跑，corpus2 才測得到沒有連結的頁面。

官方工具。

check50 ai50/projects/2024/x/pagerank
style50 pagerank.py

完整參考實作

# pagerank.py：填入三個函式
def transition_model(corpus, page, damping_factor):
    pages = list(corpus)
    links = corpus[page] or set(pages)  # 沒有連結的頁面，當成連到所有頁面
    distribution = {p: (1 - damping_factor) / len(pages) for p in pages}
    for link in links:
        distribution[link] += damping_factor / len(links)
    return distribution


def sample_pagerank(corpus, damping_factor, n):
    counts = {page: 0 for page in corpus}
    page = random.choice(list(corpus))
    counts[page] += 1
    for _ in range(n - 1):
        model = transition_model(corpus, page, damping_factor)
        page = random.choices(list(model), weights=list(model.values()))[0]
        counts[page] += 1
    return {page: count / n for page, count in counts.items()}


def iterate_pagerank(corpus, damping_factor):
    N = len(corpus)
    ranks = {page: 1 / N for page in corpus}
    while True:
        new_ranks = {}
        for page in corpus:
            total = 0
            for other, links in corpus.items():
                if not links:
                    total += ranks[other] / N  # 沒有連結：當成連到每一頁
                elif page in links:
                    total += ranks[other] / len(links)
            new_ranks[page] = (1 - damping_factor) / N + damping_factor * total
        converged = all(abs(new_ranks[p] - ranks[p]) <= 0.001 for p in corpus)
        ranks = new_ranks
        if converged:
            return ranks

學習檢核清單

• 能用條件機率的定義，從聯合機率表算出條件分佈，並說明正規化常數 α 在做什麼
• 能用貝氏法則由 P(結果 | 原因) 算出 P(原因 | 結果)
• 能照貝氏網路的箭頭，把聯合機率寫成各節點條件機率的乘積，並用列舉推論算出查詢變數的分佈
• 能說明拒絕取樣與概似加權的差別：前者丟掉不符證據的樣本，後者固定證據並替樣本加權
• 能用轉移模型算出一串狀態的機率，並說出 HMM 比馬可夫鏈多了哪一張表
• Heredity：自己寫的 joint_probability 對規格頁的例子回傳 0.0026643247488（比到最後一位），family0.csv 的輸出與規格頁相同
• PageRank：自己寫的 transition_model 對規格頁的例子回傳 0.05、0.475、0.475；三個 corpus 兩種方法的結果各自加總為 1，corpus0 的迭代結果與規格頁相差不超過 0.001
• 能解釋 damping factor 的作用，以及沒有連結的頁面為什麼要當成連到所有頁面
• 兩個專案 check50 全綠

課程影片來源

官方 CS50 YouTube 播放清單（CS50's Introduction to Artificial Intelligence with Python，8 支）已於 2026-10-10 即時核對，第 2 週講課錄影在清單中。

原始影片：Uncertainty - Lecture 2 - CS50's Introduction to Artificial Intelligence with Python 2020

課程與錄影入口：

• CS50 AI Week 2 — official video, slides and notes
• CS50's Introduction to AI with Python — official YouTube playlist (8 videos)

查核日期：2026-10-10。

內容核對：已依字幕核對（2026-10-13）：用 yt-dlp 取得帶時間碼的英文人工字幕，讀完全片 1:54:29 後重寫「講課導讀」，各節起點與文中引用的數字（骰子、天氣的三個比例與聯合機率表、貝氏網路唸出的各格、函式庫輸出、取樣計數、轉移模型與感測模型）都取自字幕；沒有看投影片，網路圖與表格的畫面沒有重建。貝氏網路四張表裡講者沒有唸的格子，取自講課公開的原始碼 src2.zip，文中以粗體區分。依示範修正字幕一處：38:44 起講者把 0.08、0.02 說成「給定下雨時多雲、不多雲的機率」，緊接著自己改口為「多雲而且下雨」「不多雲而且下雨」的聯合機率，本文依後者寫。另有三個數字照字幕寫、但與列舉推論的精確值不同：1:18:06 的「小雨 31%、大雨 23%」與 1:19:05 的「64%」，用原始碼的表列舉是 30.0%、23.9%、63.4%。這不是講者口誤或字幕有誤：pomegranate v0.14.8 的原始碼說明寫明 predict_proba 用 loopy belief propagation，本文自行重寫該演算法後重現了講者的四個數字（45.83%、30.69%、23.48%、64.32%），正文已加一段本文補充。限制：講課當時的函式庫版本沒有查，也沒有安裝 pomegranate 實跑。HMM 一節關於 predict 預設為逐日解碼的補充，依據同樣是 v0.14.8 的原始碼與手算。字幕全程未提到本週專案（Heredity、PageRank），專案說明來自課程官網而非影片。

更新紀錄

• 2026-10-10：標註影片狀態，核對錄影來源與取得方式。
• 2026-10-10：重查影片狀態。官方 CS50 YouTube 播放清單即時核對，本週講課錄影存在，狀態改為已附影片。
• 2026-10-10：依字幕核對影片內容。移除影片中找不到的主題與專案介紹，時間碼改為依字幕估算的約略值。
• 2026-10-13：播放器從文末來源區移到「課程影片與時間軸」，開頭補上片長。
• 2026-10-13：用帶時間碼的字幕重新核對時間軸，約略分鐘數改為實際起點，每一列連到影片的對應位置；片長由 1:54:30 更正為 1:54:29。
• 2026-10-13：「核心概念速覽」依字幕重寫成十節的「講課導讀」，每節附時間連結與一題自我檢查。原速覽裡講課沒有提到的內容已移除：D-separation、Variable Elimination 與推論策略的複雜度比較表、平穩分佈、PageRank 公式（移到專案 2B）、前向演算法與維特比演算法，以及一段不是講課程式的拒絕取樣程式碼。
• 2026-10-13：專案 2A 依官方 heredity.py 重寫。原文把它寫成概似加權取樣，並貼了官方檔案裡不存在的 Person 類別與自訂的取樣主迴圈；官方的 main 其實是列舉所有組合再正規化，people 是字典。參考實作改成能直接填進官方檔案的三個函式，實跑結果與規格頁相符。小節標題同步由「貝氏網路取樣推斷基因型」改為「用貝氏網路推斷基因與性狀」。
• 2026-10-13：專案 2B 依官方 pagerank.py 重寫。補上規格要求的 transition_model，函式簽名改成與官方一致（沒有預設參數）；原取樣版沒有經過轉移模型，已修正；原迭代版在收斂時回傳前一輪的數值，改成回傳剛算出的那一組，這是選擇而不是修正，舊寫法在規格容許的 0.001 之內，規格頁列的數字也對得上舊寫法。兩者都實跑過。小節標題同步由「迭代與取樣兩種算法」改為「取樣與迭代兩種演算法」，錨點跟著改變。
• 2026-10-13：依獨立審稿修正。「推論」一節加一段本文補充，說明講者唸的 31%、23%、64% 是函式庫近似推論的結果，並列出列舉推論的精確值，內容核對行同步改寫；HMM 的補充加上 predict 預設做法的說明；概似加權補一個自擬的兩樣本算例；另修正數處措辭，「播放列表」改為「播放清單」，版本提醒的「OCW 官網」改為「課程官網」。
• 2026-10-13：兩個專案節改成任務、官方已提供的程式、解題思路、虛擬碼、容易出錯的地方、檢查方式在前，完整參考實作摺疊在各專案最後並加上警語，連到課程的學術誠信政策。參考實作的程式碼沒有更動。另依複審把近似推論的四個數字多寫一位小數，PageRank 取樣與迭代的差距改寫成實跑 30 次的中位數與最大值。
• 2026-10-13：依專案節複審修正。Heredity「容易出錯」裡一個數字與描述對不上，改成寫明是哪一種錯法；PageRank 迭代的虛擬碼原本寫「其他頁面」，會漏掉沒有連結的頁面自己，改成每一頁都算並把內層步驟寫粗；「收斂時回傳哪一組」從錯誤改列為說明；邊算邊覆寫的數字註明隨頁面順序改變；0.03 的門檻標明是本站的判斷。tldr 與 description 同步改成現在的專案節內容。

參考資料

• Week 2 Uncertainty 講課頁 — 影片、投影片、逐字稿、Quiz
• Uncertainty - Lecture 2（YouTube） — 「講課導讀」的底本，內容、數字與時間連結取自它的英文字幕
• 講課原始碼 src2.zip — bayesnet、chain、hmm 三個資料夾；貝氏網路完整的機率表與 HMM 的觀察序列取自這裡
• Week 2 Notes (2020 版) — 官方筆記，可對照投影片上的圖與表
• Heredity 專案規格 — Distribution 2023/x、check50 slug ai50/projects/2024/x/heredity
• PageRank 專案規格 — Distribution 2023/x、check50 slug ai50/projects/2024/x/pagerank
• CS50 AI YouTube 播放清單
• CS50 AI 學術誠信政策 — 專案解答摺疊顯示的依據（2026-10-13 讀取）
• check50 文件
• 站內：Harvard CS50 AI 總覽 — 系列入口與版本說明
• 站內：世界名校 AI／CS 課程地圖 — A3 分級定義