Stanford CS109 Lecture 9｜Normal Distribution：標準化、Φ 與 continuity correction

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這是 Stanford CS109 導讀的第 10 篇，對應 Summer 2026 Lecture 9: The Normal Distribution，日期為 7 月 6 日，講者是 Chris Gregg。本文依 Summer worksheet、answer key、LLM Learning Guide及跨 offering 共用的 Spring-dated 官方讀本 Normal 與 binomial approximation 章節整理。Canvas 錄影未公開，因此不重建課堂口述。

原始 worksheet 共兩頁：P1–P3 在第一頁，P4–P7 與 challenge 在第二頁，題號完整。P5 與 challenge 屬 problem set，公開 answer key 刻意隱藏解答；本文會明確區分官方刊出的答案與依公開題目自行推導的部分。

P1：用 Exponential 複習銜接

Server 下一次 request 的等待時間是 T~Exp(0.5) 小時，因此

P(T<2) = 1-e^(-0.5×2) = 1-e^-1 ≈ 0.632
E[T] = 1/0.5 = 2 hours

已等三小時仍沒有 request，再兩小時仍未到的機率由 memorylessness 得到：

P(T>5 | T>3) = P(T>2) = e^-1 ≈ 0.368

這題結束上一講的等待時間模型，接著轉向能描述量測誤差、自然變異與許多小效果總和的 Normal distribution。

P2：Normal 的參數與標準化

令考試分數 X~N(70,16)。CS109 記號的第二個參數是 variance σ²=16，所以 mean 是 70，standard deviation 是 σ=4。許多程式庫要求傳入 σ 而非 σ²，這是 worksheet 特別提醒的介面陷阱。

原始分數 74 的 z-score 是

z = (74-70)/4 = 1
Z = (X-μ)/σ ~ N(0,1)

z=1 表示分數位於平均值上一個 standard deviation。令 Φ(z)=P(Z≤z) 為 standard-normal CDF，便有 P(X<74)=Φ(1)≈0.841。標準化不是近似，而是 Normal 的精確線性轉換。

P3：Φ 的對稱性與區間

Standard normal 以零為中心對稱，因此

Φ(-a) = 1-Φ(a)

一個 standard deviation 內的機率為

P(-1≤Z≤1) = Φ(1)-Φ(-1)
           = 2Φ(1)-1
           ≈ 0.683

這是 68–95–99.7 rule 的第一段。右尾則用 complement：已知 Φ(1.31)=0.9049，所以 P(Z>1.31)=1-0.9049=0.0951。常見錯誤是把 CDF 當右尾；先畫出事件位於曲線哪一側，再決定用 Φ、1-Φ 或兩個 CDF 相減。

P4：Submarine panel 的雙側規格

Panel 厚度 X~N(500,36) microns，因此 σ=6。規格要求落在 490 到 510，兩端的 z-score 為

z490 = (490-500)/6 ≈ -1.667
z510 = (510-500)/6 ≈  1.667

區間機率是

P(490≤X≤510)
= Φ(1.667)-Φ(-1.667)
= 2Φ(1.667)-1
≈ 0.904

約 90.4% 的 panels 符合規格。這題把 P2 的標準化與 P3 的對稱性合在一起：上下界分別轉成 z，再以右端 CDF 減左端 CDF。

P5：Website Analytics 的右尾

每週訪客數 X~N(2200,52900)，因此 σ=√52900=230。題目問超過 2,000 人：

P(X>2000)
= 1-Φ((2000-2200)/230)
= Φ(200/230)
≈ 0.808

門檻低於平均值，所以答案應大於一半；這是代入前就能做的方向檢查。P5 是 pset3 題，公開 answer key 不刊解答；0.808 是依公開題目與 standard-normal CDF 自行計算。

P6：用 Normal 近似大型 Binomial

新網站設計測試一百萬名 users。在「設計無效果」假設下，每人改善機率為 0.5，所以 X~Bin(10⁶,0.5)。近似 Normal 的參數是

μ = np = 500,000
σ² = np(1-p) = 250,000
σ = 500

CEO 在 X≥501,000 時背書。離散整數 501,000 在連續曲線中對應從 500,999.5 開始，因此 continuity correction 給出

P(X≥501,000)
≈ 1-Φ((500,999.5-500,000)/500)
= 1-Φ(1.999)
≈ 0.0228

即使設計沒有真實效果，仍約有 2.3% 機率因抽樣波動達到背書門檻。這裡 p=0.5 且 np(1-p)=250,000 遠大於十，屬大型 n、moderate p 的 Normal regime。Poisson approximation 比較適合大型 n、極小 p 的稀有事件。

P7：continuity correction 到底修什麼

公平硬幣擲一百次，heads 數 X~Bin(100,0.5)，近似為 N(50,25)。離散的 X=55 是一根寬度一的 bar，在連續模型中應保留整根 bar：

P(X=55) ≈ P(54.5<Y<55.5)
        = Φ((55.5-50)/5)-Φ((54.5-50)/5)

而 X≤60 包含 60 的整根 bar，所以右邊界移到 60.5：

P(X≤60) ≈ Φ((60.5-50)/5) = Φ(2.1)

記憶 ±0.5 不如先畫整數 bar：≤k 取到 k+0.5，≥k 從 k-0.5 開始，=k 則包住 [k-0.5,k+0.5]。

Challenge：independent Normals 的線性組合

令獨立的 X~N(1,2)、Y~N(1,2)，且 W=2X+Y。Normal 的線性組合仍是 Normal；mean 依係數線性相加，variance 必須平方係數：

E[W] = 2E[X]+E[Y] = 3
Var(W) = 2²Var(X)+Var(Y) = 4×2+2 = 10
W ~ N(3,10)

因此

P(W<5) = Φ((5-3)/√10) ≈ Φ(0.632) ≈ 0.736

獨立性讓 covariance 項為零；若 X、Y 不獨立，variance 還需加入 2ab Cov(X,Y)。Challenge 屬 pset4，公開 key 同樣不刊解答，以上是依題目直接推導。

如何使用 LLM Learning Guide

官方 guide 的六個 concept 是 Normal 參數、標準化與 Φ、對稱與區間、線性轉換與 sums、binomial 的 Normal approximation、continuity correction。測驗時先分清 variance/SD，再畫事件方向，最後才查 Φ。做近似時另寫一行選擇 Normal 而非 Poisson 的理由，並畫出離散 bar 的半格修正。

材料邊界

• 本文覆蓋兩頁 worksheet 的 P1–P7、optional challenge 與 LLM guide 六個 concept；題號沒有跨頁缺漏。
• P5 與 challenge 是 problem-set 題，官方公開 answer key 刻意省略解答；本文只依公開題目自行推導。
• Canvas 錄影未公開，不推測其中額外例子或講者說法。
• Worksheet 與 guide 各兩頁，採短材料例外，以逐題完整為準；維持 draft: true 等待獨立審稿。

參考資料

• Stanford CS109 Summer 2026 schedule
• Lecture 9: The Normal Distribution
• Lecture 9 worksheet
• Lecture 9 answer key
• Lecture 9 LLM Learning Guide
• Probability for Computer Science: Normal
• Probability for Computer Science: Normal approximation to Binomial