Stanford CS109 導讀：一門機率課把「怎麼用語言模型讀這一講」寫成了官方教材
CS109 在 2026 年夏季的每一講旁邊，掛了一份官方寫的 LLM Learning Guide——六個概念、每個概念一組 Learn 與 Test me 提示詞，逐週產出共 23 份 PDF。同一門課的榮譽守則第 4 條卻明文禁止拿 LLM 解作業，而成績有 65% 壓在現場考試。這兩件事是同一套設計的兩半。
23 篇文章
Stanford CS109 導讀
逐講讀 Stanford CS109：機率、隨機變數、推論與模擬，補齊機器學習與資料科學真正會用到的機率底座。
Stanford CS109 Lecture 1｜What is Probability?：先把隨機問題列成結果集合，再談事件的機率。
先把隨機問題列成結果集合，再談事件的機率。
Stanford CS109 Lecture 2｜Conditional Probability：條件不是裝飾，而是把樣本空間縮到已知資訊仍允許的部分。
條件不是裝飾，而是把樣本空間縮到已知資訊仍允許的部分。
Stanford CS109 Lecture 3｜Bayes Theorem：Bayes 定理把容易建模的生成方向，翻成真正想問的推論方向。
Bayes 定理把容易建模的生成方向，翻成真正想問的推論方向。
Stanford CS109 Lecture 4｜Counting and Combinatorics：先判斷順序是否重要、元素能否重複，公式才不會套錯。
先判斷順序是否重要、元素能否重複，公式才不會套錯。
Stanford CS109 Lecture 5｜Random Variables and Expectation：隨機變數是把結果映成數字；期望值是加權平均，不保證會真的出現。
隨機變數是把結果映成數字；期望值是加權平均，不保證會真的出現。
Stanford CS109 Lecture 6｜Moments：期望值、LOTUS 與線性性
期望值把分布壓成加權平均；LOTUS 處理變換後的值，linearity 則讓隨機變數的和即使不獨立也能直接計算。
Stanford CS109 Lecture 7｜Variance 與 Poisson：從分散程度到稀有事件計數
先用 variance 描述隨機變數的分散程度，再用 Poisson 處理固定區間內的事件數，以及大 n、小 p 的二項近似。
Stanford CS109 Lecture 8｜Continuous Random Variables：PDF、CDF、Uniform 與 Exponential
連續變數的單點機率為零，區間機率是 PDF 面積；CDF、Uniform 與 Exponential 則把面積、等待時間與 memorylessness 串起來。
Stanford CS109 Lecture 9｜Normal Distribution：標準化、Φ 與 continuity correction
標準化把不同尺度的 Normal 變數轉成 Z；Φ、線性轉換與 continuity correction 再把區間與大型 binomial 變成可計算的機率。
Stanford CS109 Lecture 10｜Probabilistic Models：joint、marginal、independence 與 Bayes
Joint distribution 保存多個變數的完整關係；marginal、conditional、independence 與 Bayes 都是從這份關係表取出不同問題的答案。
Stanford CS109 Lecture 11｜Inference：prior × likelihood → normalize
Inference 把 hidden variable 的 prior 逐項乘上 observation likelihood，再正規化成 posterior；同一迴圈可處理多次觀察與離散化的連續 belief。
Stanford CS109 Lecture 12｜General Inference：Bayesian networks、sampling 與 rare evidence
Bayesian network 用 conditional independence 分解巨大 joint；ancestral sampling 生成 joint samples，rejection sampling 再以 evidence 篩出 conditional。
Stanford CS109 Lecture 13｜Multinomial：多類別計數、bag of words 與 log probability
Multinomial 把 binomial 的兩類計數推廣到多類；同一 PMF 也能把文件視為 word counts，配 Bayes 與 log-score 做 authorship inference。
Stanford CS109 Lecture 14｜Beta：把未知 probability 變成可更新的 random variable
Beta distribution 表示對未知成功率的完整 belief；success/failure data 只需更新兩個參數，便能取得 posterior、平滑估計與 Thompson-sampling decision。
Stanford CS109 Lecture 15｜Adding Random Variables 與 Central Limit Theorem
少數分布的 independent sums 有 closed form；一般 IID sums 則由 CLT 在大樣本下近似 Normal，離散 sums 還需 continuity correction。
Stanford CS109 Lecture 16｜Bootstrapping：sampling statistics、error bars 與 p-values
Bootstrap 把 sample histogram 當作 population proxy，以 replacement 重抽並重算 statistic，近似 estimator 的 sampling distribution、error bar 與 null p-value。
Stanford CS109 Lecture 17｜Algorithmic Analysis：conditional expectation、indicators 與 recursion
隨機程式的 expected cost 可依第一個 random choice 分情境；計數問題則拆成 indicators，兩者都靠 linearity，而不必硬求完整 distribution。
Stanford CS109 Lecture 18｜Information Theory：surprise、entropy、information gain 與 KL
Surprise 把低機率事件轉成 bits；entropy 是 expected surprise，information gain 選擇最能降低 uncertainty 的問題，KL 則量化錯用 model distribution 的額外代價。
Stanford CS109 Lecture 19｜Maximum Likelihood Estimation：固定資料，找最能解釋資料的參數
MLE 固定觀察資料、最佳化參數；log-likelihood 讓乘積變加總，但最大值也可能落在邊界。
Stanford CS109 Lecture 20｜Logistic Regression：從 Bernoulli likelihood 推出 gradient
Logistic regression 用 sigmoid 把線性分數變成 Bernoulli 機率，而 gradient xⱼ(y-ŷ) 直接來自 log-likelihood 的 chain rule。
Stanford CS109 Lecture 21｜Comparing Classifiers：accuracy 之外還要問 calibration、錯誤成本與 fairness
比較 classifier 不能只看 accuracy；還要用 held-out data、baseline、calibration、precision/recall 與明確的 fairness criterion。
Stanford CS109 Lecture 22｜Deep Learning：用 chain rule 推出 backpropagation
Neural network 是堆疊的 logistic units；forward pass 算機率，backpropagation 重用 output error 來計算所有 gradients。