這是 Stanford CS109 導讀的第 6 篇，對應 Stanford CS109, Summer 2026, Lecture 5（Jun 29），官方 schedule 題目是 Random Variables and Expectation，講者為 Chris Gregg。本文以官方 schedule、講次頁、課堂習題、解答與 LLM guide確定 Summer agenda；講次頁與 /spr26 讀本只作為跨 offering 共用的 Spring-dated 概念參考。
本講材料完整度為 L3：Summer schedule 與題目 artifacts 確定 agenda，Spring-dated 共用頁面只補概念；Canvas 錄影未使用。
Worksheet agenda：從 counting 走到 binomial PMF
第一題用十二人委員會複習 combination。四人委員會總數是 C(12,4)；恰兩位 senior 是 C(5,2)C(7,2)；全是 junior 是 C(7,4)。這些計數會直接變成 binomial PMF 裡的組合係數，但不放回抽樣本身不是 binomial。
三次公平硬幣把八個序列映成 Y=正面數。Y 的值只有 0、1、2、3，PMF 分別由對應序列數除以八得到；四個值相加必須為一。隨機變數壓縮了原始結果：HTH 與 THH 是不同 outcome，卻映到同一個 Y=2。
地震題給 P(X=k)=c/2^k。合法 PMF 的總和是 1，而從 k=1 起的幾何級數也等於 1，所以 c=1。接著 P(X=3)=1/8，P(X≤2)=1/2+1/4。這題要練的不是地震模型是否寫實，而是先做 normalization 再問事件機率。
辨認 binomial 要逐項檢查：固定 n 次試驗、每次只有 success/failure、成功率 p 固定、試驗獨立。獨立 bit 與廣告曝光符合；不放回抽五張牌的紅心數不符合，因為每抽一張都改變下一張成功率。恰三個 1 的機率由 C(8,3) 選成功位置，再乘 0.5³0.5⁵。
七台 server 各自以 0.8 存活，X~Bin(7,0.8)。失效事件 X<2 只含 X=0 與 X=1，正常機率用 1 減掉這兩項。這比直接加 X=2 到 7 短，也降低漏項機會。
觀眾題中只有二十位 expert 進入 X，因此 X~Bin(20,0.7)，不是把兩百人全放進 n。恰十四票與至少十八票都從同一 PMF 取不同集合。Best-of-7 題若假定七場全打，勝系列是 X≥4；不能只選四個勝場後把其餘寫成 anything，因為不同選定四場的事件會在五勝、六勝、七勝結果上重疊。
Galton board 把每層向右視為 Bernoulli trial，五層後桶位就是向右次數。C(5,k)/2⁵ 的對稱來自 C(5,k)=C(5,5-k)，中央桶較高則來自能通往中央的路徑較多。
Binomial 式子的每一塊
C(n,k) 選出成功出現在哪 k 次；p^k 是那些成功同時發生；(1-p)^(n-k) 是其餘失敗；相乘得到一種成功位置集合的機率，再由組合係數加總所有互斥位置集合。只背整式，最容易漏掉的正是四個建模條件。
材料缺口
- Spring-dated 共用 Binomial 頁可核對 PMF 與建模條件，但不能證明 Summer 課堂流程。
- 課程錄影限 Canvas，未使用。
- 本文不使用搜尋摘要或未存取的 Canvas 內容，也不推測課堂口述例子。
參考資料
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