目錄
這是 Stanford CS109 導讀的第 7 篇，對應 Summer 2026 Lecture 6: Moments (Expectation)，官方日期是 6 月 30 日，講者 Chris Gregg。Summer agenda 依官方 schedule、worksheet、answer key與 LLM learning guide確定；/spr26 課程讀本是跨 offering 共用的 Spring-dated 概念參考，不是 Summer 講次證據。Canvas 錄影未公開，因此不重建課堂口述。
從分布到一個可運算的摘要
前一講建立 PMF，這一講問下一步：知道每個值的機率後，怎麼用一個數字描述長期中心？離散隨機變數的期望值是
E[X] = Σx x P(X=x)它是依機率加權的平均，不必是 X 真能取到的值。公平六面骰的期望是 3.5，骰子永遠不會顯示 3.5；這個數字描述大量重複擲骰後的每次平均。
Problem 1：先把 Binomial PMF 接回來
五題四選一全部亂猜，X~Bin(5,0.25)：
P(X=k) = C(5,k)(0.25)^k(0.75)^(5-k)恰答對兩題代入 k=2。至少答對一題則算補事件 1-P(X=0)=1-(0.75)^5。這題不只是複習；它提醒後面 E[Bin(n,p)]=np 的 X 是「成功次數」，不是完成第一次成功所需的試驗數。
Problem 2：四個經典離散隨機變數
- 單次廣告是否點擊是
Bern(0.01)：只做一次試驗，結果為 0 或 1。 - 每次配對成功率 0.2，直到第一次成功所需人數是
Geo(0.2)。 - 每球命中率 0.53，直到第三次命中所需出手數是 negative binomial，成功目標 r=3、單次成功率 p=0.53。
- 二十次公平擲幣的正面數是
Bin(20,0.5)。
辨認順序是：先看 X 計數的是成功次數還是等待時間，再看停止條件。Binomial 固定試驗次數；geometric 與 negative binomial 固定要等到第幾次成功。
Problem 3：抽「班級」和抽「學生」不是同一個平均
公平骰的 PMF 直接給 E[X]=(1+2+3+4+5+6)/6=3.5。接著 worksheet 刻意安排三個大小為 5、10、150 的班級。
若先等機率挑一個班，平均班級大小是 (5+10+150)/3=55。若從 165 位學生中等機率挑一人，小班只提供 5 個被抽中的機會，大班提供 150 個；此時 X 的機率依班級人數加權，期望是 (5²+10²+150²)/165，約 137.1。
兩個問題的「隨機抽取單位」不同。學生經驗到的平均班級較大，不是算術矛盾，而是 size-biased sampling：大班學生更容易出現在以學生為單位的樣本。
Problem 4：linearity 與 LOTUS 做不同工作
骰到 X 點，獎金 W=2X-1。linearity 直接給 E[W]=2E[X]-1=6，不用重新列 W 的 PMF。更一般地，E[aX+b]=aE[X]+b。
LOTUS（Law of the Unconscious Statistician）處理非線性函數：
E[g(X)] = Σx g(x)P(X=x)對公平骰，E[X²]=(1²+2²+…+6²)/6=91/6；但 (E[X])²=12.25。兩者不相等，因為先平方再平均與先平均再平方不是同一個運算。這個對比替下一講的 variance 鋪路，但不把 variance 誤列成本講 agenda。
Problem 5：公式背後的等待直覺
經典期望是 E[Bern(p)]=p、E[Bin(n,p)]=np、E[Geo(p)]=1/p。Shaq 500 次出手、命中率 0.53，期望命中 265 球；提高十個百分點後，期望多 50 球。兩式都用 np，不必把 501 個 PMF 項目加完。
成功率 0.2 的 geometric 等待時間期望是 5。1/p 的直覺是長期每五次約出現一次成功；它不是保證第五次一定成功，也不是說 geometric 有上限。
Problem 6：Daycare 的收入與分段成本
六名嬰兒各以 5/6 機率獨立出席，所以 X~Bin(6,5/6)。五或六人出席的機率是 P(X=5)+P(X=6)。每位收 50 美元時，收入 R=50X，故
E[R] = 50E[X] = 50 × 6 × 5/6 = 250人事成本不是單一線性函數：X≤4 時 200 美元，X≥5 時 400 美元。因此期望成本按兩個互斥區間加權：200P(X≤4)+400P(X≥5)。這正好對比 linearity 容易處理的收入與需要 LOTUS／分段事件處理的成本。
Problem 7：linearity 不要求 independence
洗牌後令 Xi 表示第 i 張牌是否剛好在排序後的正確位置。每個 Xi 都是成功率 1/52 的 Bernoulli；這些指示變數彼此並不獨立，因為一張牌的位置會限制其他牌的位置。
但期望值仍可直接相加：
E[X] = E[Σ Xi] = Σ E[Xi] = 52 × 1/52 = 1所以隨機排列平均有一張牌 fixed point。這是本講最重要的工具性結論：計算聯合機率時相依性很麻煩，但計算總和的期望時，linearity 無條件成立。
Challenge 用同一招證明 binomial 期望。把成功總數寫成 n 個 Bernoulli indicator 的和，每個期望是 p，於是總期望是 np；完全不需要展開 binomial PMF。
材料缺口
- 本文完整覆蓋 worksheet 的七題與 optional challenge；短材料依實際 agenda 收束，不加入未在 artifacts 中出現的課堂例子。
- 公開錄影只在 Canvas，本文沒有使用；投影片存取狀態不取代 worksheet 證據。
參考資料
Loading...