Stanford CS109 Lecture 7｜Variance 與 Poisson：從分散程度到稀有事件計數

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這是 Stanford CS109 導讀的第 8 篇，對應 Summer 2026 Lecture 7: Poisson，日期為 7 月 1 日，講者是 Chris Gregg。本文依 Summer worksheet、answer key、LLM Learning Guide與跨 offering 共用的 Spring-dated 課程讀本逐題整理；Canvas 錄影未公開，因此不重建課堂口述。

官方題名雖是 Poisson，worksheet 前半先補齊上一講的另一半工作：期望值指出分布中心，variance 與 standard deviation 說明它散得多開。接著才用 Poisson 處理「固定區間內發生幾次」。

P1：先把 expectation 接回來

每次約會遇到人生伴侶的機率是 0.2，彼此獨立，直到第一次成功才停止，則約會人數

X ~ Geo(0.2),   E[X] = 1 / 0.2 = 5

幾何分布包含成功的那次，所以是平均約會五人，不是四次失敗。另一情境令 Y ~ Bin(500, 0.53) 表示 500 次罰球的命中數；由二項分布平均值或 indicator 的 linearity，E[Y] = 500 × 0.53 = 265。後面的 variance 以 μ = E[X] 為中心，Poisson approximation 又使用 λ = np，這題正好接起兩者。

P2：variance 為什麼要平方

Var(X) = E[(X - μ)²],   μ = E[X]

若只平均偏差，E[X-μ] 永遠為零，因為平均值兩側的正負偏差互相抵消。平方讓兩側都成正值，也讓較遠的結果權重更大。展開後可得較方便的計算式：

Var(X) = E[X²] - (E[X])²

E[X²] 是先平方每個可能值，再以 PMF 加權，即由 LOTUS 算 Σx x²P(X=x)；(E[X])² 則是先求平均再平方。兩者不能互換。Variance 的單位會平方，因此常再取 SD(X)=√Var(X)，回到原始單位，才容易和平均值或觀察值比較。這正是 LLM guide 的前兩個概念：辨認同平均、不同 spread，並從定義推回計算公式。

P3：公平骰子的 variance

令 X 為公平六面骰點數，沿用 E[X]=3.5、E[X²]=91/6：

Var(X) = 91/6 - 3.5² = 35/12 ≈ 2.917
SD(X) = √(35/12) ≈ 1.708

1.708 是點數相對平均值的典型偏離尺度，不表示每次必定差這麼多，也不是事件機率。

P4：Bernoulli 與 Binomial 的 variance

Var(Bern(p)) = p(1-p)
Var(Bin(n,p)) = np(1-p)

命中率 0.53 的單次罰球 variance 是 0.53×0.47=0.2491。500 次獨立罰球的命中數則有

Var(Y) = 500 × 0.53 × 0.47 = 124.55
SD(Y) = √124.55 ≈ 11.16

二項分布是獨立 Bernoulli 的和，所以 variance 相加。固定 n 時，p(1-p) 在 p=1/2 最大；p 接近零或一時結果幾乎固定，spread 反而縮小。

P4 在官方 worksheet 與 answer key 中都有完整內容。先前看似缺題，是 PDF 轉文字跨頁造成的抽取假象，不是 Summer 2026 官方材料缺漏。

P5：正式認識 Poisson

Poisson random variable 描述固定區間內的事件數。若該區間平均發生 λ 次：

X ~ Poi(λ)
P(X=k) = e^(-λ) λ^k / k!,   k=0,1,2,...
E[X] = Var(X) = λ

一年平均 2.79 次重大地震時，令 X~Poi(2.79)：

P(X=3) = e^(-2.79) 2.79³ / 3! ≈ 0.222
P(X=0) = e^(-2.79) ≈ 0.0615

Poisson 的平均值與 variance 都是 λ，但 standard deviation 是 √λ，不要把三者混為同一量。

P6：Poisson approximation to Binomial

2,000 個 buckets 收到 10,000 個獨立且均勻配置的字串。令 X 為第一格的字串數，精確模型是 Bin(10000,1/2000)。因 n 大、p 小且 np=5，可近似為 Poi(5)：

P(X≤8) ≈ Σ(k=0..8) e^-5 5^k / k! ≈ 0.9319

Poisson 把兩個參數壓成 λ=np，避開巨大組合數。但必須先說明大 n、小 p 的條件，不能只看到「計數」就自動套用。

P7：rate 必須跟 interval 對齊

Web server 平均每秒兩次 hits，一秒內的 X~Poi(2)，所以

P(X<5) = Σ(k=0..4) e^-2 2^k / k! ≈ 0.947

若改問五秒，參數必須改成 λ=2×5=10。Lambda 是「所問區間內的期望事件數」，不是脫離時間單位的常數。先換 interval 再代 PMF，是 LLM guide 特別獨立列出的概念。

Optional challenge：DNA data storage

DNA strand 有 10⁴ 個 base pairs，各自獨立以 10⁻⁶ 的機率損壞：

X ~ Bin(10⁴, 10⁻⁶)
X ≈ Poi(0.01)
P(X≥1) ≈ 1 - e^-0.01 ≈ 0.00995

精確 binomial 值約 0.00995017，幾乎一致。這題濃縮整講順序：先寫精確模型，再檢查稀有事件近似、算 λ=np，最後用零事件的 complement。

如何使用 LLM Learning Guide

官方 guide 依序安排六個概念：variance 與 SD、E[X²]-(E[X])²、經典分布 variance、Poisson PMF、rate/interval 對齊，以及 binomial 的 Poisson approximation。它要求學生先回答並交出推理，再請模型指出錯誤所在，不是把 worksheet 丟給模型代算。

每題最好留下模型選擇紀錄：隨機變數與單位、獨立假設、λ 對應的區間、近似條件。最後再做 guide 的綜合題，同時處理 variance/SD、Poisson rate 換算與大 n 小 p 的近似。下一講進入 continuous random variables；Poisson 數區間內事件數，之後的 Exponential 則問等到下一事件的時間。

材料邊界

• 本文完整覆蓋 worksheet／answer key 的 P1–P7、optional DNA challenge，以及 LLM guide 六個概念。
• P4 沒有缺漏；先前判讀是 PDF 跨頁抽取 artifact。
• Canvas 錄影未公開，不推測其中的額外例子或講者說法。
• Worksheet 與 guide 各僅兩頁，因此採短材料例外：以逐題完整為準，不用通用段落灌長度；仍維持 draft: true 等待獨立審稿。

參考資料

• Stanford CS109 Summer 2026 schedule
• Lecture 7: Poisson
• Lecture 7 worksheet
• Lecture 7 answer key
• Lecture 7 LLM Learning Guide
• Probability for Computer Science: Poisson